Theorem hashen 13135

Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashen	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` B ) <-> A ~~ B ) )

Proof of Theorem hashen

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( ( # ` A ) = ( # ` B ) -> ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( # ` A ) ) = ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( # ` B ) ) )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
3	2	hashginv 13121	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( # ` A ) ) = ( card ` A ) )
4	2	hashginv 13121	. . . . 5 |- ( B e. Fin -> ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( # ` B ) ) = ( card ` B ) )
5	3, 4	eqeqan12d 2638	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( # ` A ) ) = ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( # ` B ) ) <-> ( card ` A ) = ( card ` B ) ) )
6	1, 5	syl5ib 234	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` B ) -> ( card ` A ) = ( card ` B ) ) )
7		fveq2 6191	. . . 4 |- ( ( card ` A ) = ( card ` B ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` B ) ) )
8	2	hashgval 13120	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
9	2	hashgval 13120	. . . . 5 |- ( B e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` B ) ) = ( # ` B ) )
10	8, 9	eqeqan12d 2638	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` B ) ) <-> ( # ` A ) = ( # ` B ) ) )
11	7, 10	syl5ib 234	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( card ` A ) = ( card ` B ) -> ( # ` A ) = ( # ` B ) ) )
12	6, 11	impbid 202	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` B ) <-> ( card ` A ) = ( card ` B ) ) )
13		finnum 8774	. . 3 |- ( A e. Fin -> A e. dom card )
14		finnum 8774	. . 3 |- ( B e. Fin -> B e. dom card )
15		carden2 8813	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ B e. dom card ) -> ( ( card ` A ) = ( card ` B ) <-> A ~~ B ) )
16	13, 14, 15	syl2an 494	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( card ` A ) = ( card ` B ) <-> A ~~ B ) )
17	12, 16	bitrd 268	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` B ) <-> A ~~ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   cardccrd 8761   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hasheni  13136  hasheqf1o  13137  isfinite4  13153  hasheq0  13154  hashsng  13159  hashen1  13160  hashsdom  13170  hash1snb  13207  hashxplem  13220  hashmap  13222  hashpw  13223  hashbclem  13236  hash2pr  13251  pr2pwpr  13261  hash3tr  13272  isercolllem2  14396  isercoll  14398  fz1f1o  14441  summolem3  14445  summolem2a  14446  mertenslem1  14616  prodmolem3  14663  prodmolem2a  14664  bpolylem  14779  hashdvds  15480  crth  15483  phimullem  15484  eulerth  15488  4sqlem11  15659  lagsubg2  17655  orbsta2  17747  dfod2  17981  sylow1lem2  18014  sylow2alem2  18033  sylow2a  18034  slwhash  18039  sylow2  18041  sylow3lem1  18042  cyggenod  18286  lt6abl  18296  gsumval3lem1  18306  gsumval3lem2  18307  gsumval3  18308  ablfac1c  18470  ablfac1eu  18472  ablfaclem3  18486  fta1blem  23928  vieta1  24067  basellem5  24811  isppw  24840  derangen2  31156  subfacp1lem3  31164  subfacp1lem5  31166  erdsze2lem1  31185  erdsze2lem2  31186  poimirlem9  33418  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  eldioph2lem1  37323  frlmpwfi  37668  isnumbasgrplem3  37675  idomsubgmo  37776