Theorem fprodntriv 14672

Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodntriv.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodntriv.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodntriv.3	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodntriv	|- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )

Distinct variable groups:   A, k, n, y   B, n, y   k, n, y   n, N   ph, n   y, n, N   k, Z, n, y

Allowed substitution hints:   ph( y, k)   B( k)   M( y, k, n)   N( k)

Proof of Theorem fprodntriv

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodntriv.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. Z )
2		fprodntriv.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		peano2uz 11741	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
6	5, 2	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. Z )
7		ax-1ne0 10005	. . 3 |- 1 =/= 0
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( N + 1 ) )
9		eluzelz 11697	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
10	9, 2	eleq2s 2719	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
11	1, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	11	peano2zd 11485	. . . 4 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
13		seqex 12803	. . . . 5 |- seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) e. _V
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) e. _V )
15		1cnd 10056	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
16		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
17		fprodntriv.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> A C_ ( M ... N ) )
19	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N e. ZZ )
20	19	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N e. RR )
21	19	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
22	21	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
23		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ZZ )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. ZZ )
25	24	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. RR )
26	20	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N < ( N + 1 ) )
27		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> ( N + 1 ) <_ m )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) <_ m )
29	20, 22, 25, 26, 28	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N < m )
30	20, 25	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N < m <-> -. m <_ N ) )
31	29, 30	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m <_ N )
32	31	intnand 962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. ( M <_ m /\ m <_ N ) )
33	32	intnand 962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( M <_ m /\ m <_ N ) ) )
34		elfz2 12333	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( M <_ m /\ m <_ N ) ) )
35	33, 34	sylnibr 319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m e. ( M ... N ) )
36	18, 35	ssneldd 3606	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m e. A )
37	36	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) = 1 )
38		fzssuz 12382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + 1 ) ... n ) C_ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) )
39	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
40		uzss 11708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
42	41, 2	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ Z )
43	38, 42	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) ... n ) C_ Z )
44	43	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. Z )
45		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
46	37, 45	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
47		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k m
48		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k m e. A
49		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ B
50		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k 1
51	48, 49, 50	nfif 4115	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 )
52		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
53		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> B = [_ m / k ]_ B )
54	52, 53	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
56	47, 51, 54, 55	fvmptf 6301	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
57	44, 46, 56	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
58		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
60		1ex 10035	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
61	60	fvconst2 6469	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) = 1 )
62	59, 61	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) = 1 )
63	37, 57, 62	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) )
64	16, 63	seqfveq 12825	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` n ) = ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) )
65	8	prodf1 14623	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) = 1 )
66	65	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) = 1 )
67	64, 66	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` n ) = 1 )
68	8, 12, 14, 15, 67	climconst 14274	. . 3 |- ( ph -> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 )
69		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( y =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
70		breq2 4657	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) )
71	69, 70	anbi12d 747	. . . 4 |- ( y = 1 -> ( ( y =/= 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( 1 =/= 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) ) )
72	60, 71	spcev 3300	. . 3 |- ( ( 1 =/= 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) -> E. y ( y =/= 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
73	7, 68, 72	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> E. y ( y =/= 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
74		seqeq1 12804	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) )
75	74	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
76	75	anbi2d 740	. . . 4 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
77	76	exbidv 1850	. . 3 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
78	77	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( N + 1 ) e. Z /\ E. y ( y =/= 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) -> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
79	6, 73, 78	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  fprodss  14678