Theorem fsumnncl 39803

Description: Closure of a non empty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumnncl.an0	|- ( ph -> A =/= (/) )
fsumnncl.afi	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumnncl.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
fsumnncl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. NN )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumnncl

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumnncl.afi	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
2		fsumnncl.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. NN )
3	2	nnnn0d 11351	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. NN0 )
4	1, 3	fsumnn0cl 14467	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. NN0 )
5		fsumnncl.an0	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
6		n0 3931	. . . . 5 |- ( A =/= (/) <-> E. j j e. A )
7	5, 6	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> E. j j e. A )
8		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> 0 e. RR )
9		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ( ph /\ j e. A )
10		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
11	10	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. NN
12	9, 11	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. NN )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
14	13	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ j e. A ) ) )
15		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
16	15	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( B e. NN <-> [_ j / k ]_ B e. NN ) )
17	14, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. NN ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. NN ) ) )
18	12, 17, 2	chvar 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. NN )
19	18	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. RR )
20	8, 19	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( 0 + [_ j / k ]_ B ) e. RR )
21		diffi 8192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Fin -> ( A \ { j } ) e. Fin )
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A \ { j } ) e. Fin )
23		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( A \ { j } ) -> k e. A )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { j } ) ) -> k e. A )
25	24, 3	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { j } ) ) -> B e. NN0 )
26	22, 25	fsumnn0cl 14467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( A \ { j } ) B e. NN0 )
27	26	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( A \ { j } ) B e. RR )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> sum_ k e. ( A \ { j } ) B e. RR )
29	28, 19	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( sum_ k e. ( A \ { j } ) B + [_ j / k ]_ B ) e. RR )
30	18	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. RR+ )
31	8, 30	ltaddrpd 11905	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> 0 < ( 0 + [_ j / k ]_ B ) )
32	26	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( A \ { j } ) B )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> 0 <_ sum_ k e. ( A \ { j } ) B )
34	8, 28, 19, 33	leadd1dd 10641	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( 0 + [_ j / k ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( A \ { j } ) B + [_ j / k ]_ B ) )
35	8, 20, 29, 31, 34	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> 0 < ( sum_ k e. ( A \ { j } ) B + [_ j / k ]_ B ) )
36		difsnid 4341	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. A -> ( ( A \ { j } ) u. { j } ) = A )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( A \ { j } ) u. { j } ) = A )
38	37	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> A = ( ( A \ { j } ) u. { j } ) )
39	38	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. ( ( A \ { j } ) u. { j } ) B )
40	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( A \ { j } ) e. Fin )
41		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> j e. A )
42		neldifsnd 4322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> -. j e. ( A \ { j } ) )
43		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { j } ) ) -> ph )
44	43, 24, 2	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { j } ) ) -> B e. NN )
45	44	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { j } ) ) -> B e. CC )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. ( A \ { j } ) ) -> B e. CC )
47		nnsscn 11025	. . . . . . . . . . 11 |- NN C_ CC
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> NN C_ CC )
49	48, 18	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
50	9, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49	fsumsplitsn 14474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> sum_ k e. ( ( A \ { j } ) u. { j } ) B = ( sum_ k e. ( A \ { j } ) B + [_ j / k ]_ B ) )
51	39, 50	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( sum_ k e. ( A \ { j } ) B + [_ j / k ]_ B ) = sum_ k e. A B )
52	35, 51	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> 0 < sum_ k e. A B )
53	52	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. A -> 0 < sum_ k e. A B ) )
54	53	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j j e. A -> 0 < sum_ k e. A B ) )
55	7, 54	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> 0 < sum_ k e. A B )
56	4, 55	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B e. NN0 /\ 0 < sum_ k e. A B ) )
57		elnnnn0b 11337	. 2 |- ( sum_ k e. A B e. NN <-> ( sum_ k e. A B e. NN0 /\ 0 < sum_ k e. A B ) )
58	56, 57	sylibr 224	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by: (None)