Theorem fsum 14451

Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum.1	|- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
fsum.2	|- ( ph -> M e. NN )
fsum.3	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fsum.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsum.5	|- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )

Assertion

Ref	Expression
fsum	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )

Distinct variable groups:   B, n   C, k   k, n, F   ph, k, n   A, k, n   k, G, n   k, M, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( n)

Proof of Theorem fsum

Dummy variables f i j m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sum 14417	. 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
2		fvex 6201	. . 3 |- ( seq 1 ( + , G ) ` M ) e. _V
3		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( n e. A <-> j e. A ) )
4		csbeq1 3536	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> [_ n / k ]_ B = [_ j / k ]_ B )
5	3, 4	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
6	5	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
7		fsum.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
8	7	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
9		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
10	9	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
11		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
13	10, 12	rspc 3303	. . . . . . . . 9 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
14	8, 13	mpan9 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> ( f ` n ) = ( f ` i ) )
16	15	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . 10 |- ( n = i -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / k ]_ B )
17		csbco 3543	. . . . . . . . . 10 |- [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / k ]_ B
18	16, 17	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B )
19	18	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( i e. NN |-> [_ ( f ` i ) / j ]_ [_ j / k ]_ B )
20	6, 14, 19	summo 14448	. . . . . . 7 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
21		fsum.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
22		fsum.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
23		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> F : ( 1 ... M ) --> A )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> A )
25		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... M ) e. _V
26		fex 6490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 1 ... M ) --> A /\ ( 1 ... M ) e. _V ) -> F e. _V )
27	24, 25, 26	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. _V )
28		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
29	21, 28	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
30		fsum.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = C )
31		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. NN )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. NN )
33		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G ` n ) e. _V
34	30, 33	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> C e. _V )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN |-> C ) = ( n e. NN |-> C )
36	35	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ C e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> C ) ` n ) = C )
37	32, 34, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> C ) ` n ) = C )
38	30, 37	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` n ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` n ) )
39	38	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` n ) )
40		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( ( n e. NN |-> C ) ` k )
41	40	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( G ` k ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` k )
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ( n e. NN |-> C ) ` n ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` k ) )
44	42, 43	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` n ) <-> ( G ` k ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` k ) ) )
45	41, 44	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( A. n e. ( 1 ... M ) ( G ` n ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` n ) -> ( G ` k ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` k ) ) )
46	39, 45	mpan9 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) = ( ( n e. NN |-> C ) ` k ) )
47	29, 46	seqfveq 12825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> C ) ) ` M ) )
48	22, 47	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> C ) ) ` M ) ) )
49		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A <-> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
50		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
51	50	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = F -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
52		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` n ) e. _V
53		fsum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( F ` n ) -> B = C )
54	52, 53	csbie 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ ( F ` n ) / k ]_ B = C
55	51, 54	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = F -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = C )
56	55	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = F -> ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> C ) )
57	56	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> C ) ) )
58	57	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> C ) ) ` M ) )
59	58	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) <-> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> C ) ) ` M ) ) )
60	49, 59	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) ) <-> ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> C ) ) ` M ) ) ) )
61	60	spcegv 3294	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. _V -> ( ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> C ) ) ` M ) ) -> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) ) ) )
62	27, 48, 61	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) ) )
63		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... M ) )
64		f1oeq2 6128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... M ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A ) )
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) )
67	66	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) ) )
68	65, 67	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) ) ) )
69	68	exbidv 1850	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) ) ) )
70	69	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` M ) ) ) -> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) )
71	21, 62, 70	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) )
72	71	olcd 408	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
73		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
74	73	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) )
75	74	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) )
76		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) )
77	76	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
78	77	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
79	78	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
80	75, 79	orbi12d 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) )
81	80	moi2 3387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( seq 1 ( + , G ) ` M ) e. _V /\ E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) /\ ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
82	2, 81	mpanl1 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) /\ ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
83	82	ancom2s 844	. . . . . . . 8 |- ( ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) /\ ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
84	83	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
85	20, 72, 84	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) -> x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
86	72, 80	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) )
87	85, 86	impbid 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
88	87	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) e. _V ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> x = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
89	88	iota5 5871	. . 3 |- ( ( ph /\ ( seq 1 ( + , G ) ` M ) e. _V ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
90	2, 89	mpan2 707	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
91	1, 90	syl5eq 2668	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E*wmo 2471   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   iotacio 5849   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  sumz  14453  fsumf1o  14454  fsumcl2lem  14462  fsumadd  14470  sumsnf  14473  sumsn  14475  fsummulc2  14516  fsumconst  14522  fsumrelem  14539  gsumfsum  19813  sumsnd  39185