Theorem fsumparts 14538

Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumparts.b	|- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
fsumparts.c	|- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
fsumparts.d	|- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
fsumparts.e	|- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
fsumparts.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumparts.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumparts.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumparts	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   D, k   k, E   j, V   k, W   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   k, X   k, Y   k, Z

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)   V( k)   W( j)   X( j)   Y( j)   Z( j)

Proof of Theorem fsumparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 14452	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = 0
2		0m0e0 11130	. . . 4 |- ( 0 - 0 ) = 0
3	1, 2	eqtr4i 2647	. . 3 |- sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) = ( 0 - 0 )
4		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> N = M )
5	4	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
6		fzo0 12492	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
8	7	sumeq1d 14431	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. (/) ( B x. ( X - W ) ) )
9		fsumparts.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
10		eluzfz1 12348	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
12		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> k = N )
13		fsumparts.e	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = N -> ( A = E /\ V = Z ) )
14		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = E /\ V = Z ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
16		fsumparts.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A = D /\ V = Y ) )
17		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = D /\ V = Y ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = M -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( A x. V ) = ( D x. Y ) )
20	15, 19	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = M /\ N = M ) -> ( ( A x. V ) = ( A x. V ) <-> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
21	20	pm5.74da 723	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) ) <-> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) ) )
22		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( A x. V ) = ( A x. V ) )
23	21, 22	vtoclg 3266	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( N = M -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) ) )
24	23	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
25	11, 24	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( E x. Z ) = ( D x. Y ) )
26	25	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) )
27		fsumparts.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
28	27	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
29	16	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> A = D )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
31	30	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC -> D e. CC ) )
32	11, 28, 31	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. CC )
33		fsumparts.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> V e. CC )
34	33	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) V e. CC )
35	16	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> V = Y )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( V e. CC <-> Y e. CC ) )
37	36	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC -> Y e. CC ) )
38	11, 34, 37	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
39	32, 38	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D x. Y ) e. CC )
40	39	subidd 10380	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
41	40	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( D x. Y ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
42	26, 41	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) = 0 )
43	7	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) )
44		sum0 14452	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) ( ( C - B ) x. X ) = 0
45	43, 44	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = 0 )
46	42, 45	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( 0 - 0 ) )
47	3, 8, 46	3eqtr4a 2682	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
48		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
49		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
50	9, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
52		fzp1ss 12392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
54	53	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
55	27, 33	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
56	55	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
57	54, 56	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
58	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A x. V ) = ( E x. Z ) )
59	48, 57, 58	fsumm1 14480	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
60		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
61	9, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
63		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
65	51	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. CC )
66		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
67		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
68	65, 66, 67	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
70	64, 69	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
71	70	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
72		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
73	51	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
74		fsumparts.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A = C /\ V = X ) )
75		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = C /\ V = X ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A x. V ) = ( C x. X ) )
77	72, 73, 62, 57, 76	fsumshftm 14513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( C x. X ) )
78	71, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A x. V ) )
79		fzoval 12471	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
80	62, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
81	80	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
83	59, 78, 82	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) )
84		fzofi 12773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin
85	84	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
86		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
87		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
88		fzoss1 12495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
89	51, 86, 87, 88	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
90	89	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
91		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
92	91, 55	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
93	92	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
94	90, 93	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
95	85, 94	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) e. CC )
96		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
97	9, 96	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
98	13	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = N -> A = E )
99	98	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
100	99	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC -> E e. CC ) )
101	97, 28, 100	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. CC )
102	13	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = N -> V = Z )
103	102	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = N -> ( V e. CC <-> Z e. CC ) )
104	103	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC -> Z e. CC ) )
105	97, 34, 104	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. CC )
106	101, 105	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. Z ) e. CC )
107	106	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( E x. Z ) e. CC )
108	95, 107	addcomd 10238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( E x. Z ) ) = ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
109	83, 108	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) = ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
110	109	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
111		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
112	74	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
113	112	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
114	113	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> C e. CC )
115	28, 111, 114	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
116		elfzofz 12485	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
117		fsumparts.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( A = B /\ V = W ) )
118	117	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> A = B )
119	118	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
120	119	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
121	28, 116, 120	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
122	74	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j + 1 ) -> V = X )
123	122	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( V e. CC <-> X e. CC ) )
124	123	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ ( j + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> X e. CC )
125	34, 111, 124	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
126	115, 121, 125	subdird 10487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( C - B ) x. X ) = ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
127	126	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) )
128		fzofi 12773	. . . . . . . . 9 |- ( M..^ N ) e. Fin
129	128	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
130	115, 125	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( C x. X ) e. CC )
131	121, 125	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. X ) e. CC )
132	129, 130, 131	fsumsub 14520	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C x. X ) - ( B x. X ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
133	127, 132	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
134	133	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( C x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
135	129, 131	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
136	135	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) e. CC )
137	107, 136, 95	subsub3d 10422	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) = ( ( ( E x. Z ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) ) )
138	110, 134, 137	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) = ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) )
139	138	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) )
140	39	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D x. Y ) e. CC )
141	136, 95	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) e. CC )
142	107, 140, 141	nnncan1d 10426	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - ( ( E x. Z ) - ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) ) ) = ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) )
143	95, 140	addcomd 10238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
144		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
145	50, 144	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
146	64	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( k e. ( M..^ N ) <-> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
147	146	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
148	147, 93	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. V ) e. CC )
149	145, 148, 18	fsum1p 14482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
150	64	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) )
151	81	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A x. V ) ) )
152	149, 150, 151	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = ( ( D x. Y ) + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) )
153	143, 152	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) )
154		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( A = B /\ V = W ) -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
155	117, 154	syl 17	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A x. V ) = ( B x. W ) )
156	155	cbvsumv 14426	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( M..^ N ) ( A x. V ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W )
157	153, 156	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) )
158	157	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
159	136, 95, 140	subsub4d 10423	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) + ( D x. Y ) ) ) )
160	117	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> V = W )
161	160	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( V e. CC <-> W e. CC ) )
162	161	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) V e. CC /\ j e. ( M ... N ) ) -> W e. CC )
163	34, 116, 162	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> W e. CC )
164	121, 125, 163	subdid 10486	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. ( X - W ) ) = ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
165	164	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) )
166	121, 163	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( B x. W ) e. CC )
167	129, 131, 166	fsumsub 14520	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( B x. X ) - ( B x. W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
168	165, 167	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
169	168	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. W ) ) )
170	158, 159, 169	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. X ) - sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ( A x. V ) ) - ( D x. Y ) ) = sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) )
171	139, 142, 170	3eqtrrd 2661	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )
172		uzp1 11721	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
173	9, 172	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
174	47, 171, 173	mpjaodan 827	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B x. ( X - W ) ) = ( ( ( E x. Z ) - ( D x. Y ) ) - sum_ j e. ( M..^ N ) ( ( C - B ) x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  25179  selberg2lem  25239  logdivbnd  25245  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269