Theorem gsumdixp 18609

Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdixp.b	|- B = ( Base ` R )
gsumdixp.t	|- .x. = ( .r ` R )
gsumdixp.z	|- .0. = ( 0g ` R )
gsumdixp.i	|- ( ph -> I e. V )
gsumdixp.j	|- ( ph -> J e. W )
gsumdixp.r	|- ( ph -> R e. Ring )
gsumdixp.x	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> X e. B )
gsumdixp.y	|- ( ( ph /\ y e. J ) -> Y e. B )
gsumdixp.xf	|- ( ph -> ( x e. I |-> X ) finSupp .0. )
gsumdixp.yf	|- ( ph -> ( y e. J |-> Y ) finSupp .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsumdixp	|- ( ph -> ( ( R gsumg ( x e. I |-> X ) ) .x. ( R gsumg ( y e. J |-> Y ) ) ) = ( R gsumg ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, B, y   x, I, y   x, J, y   x, R   x, .x. , y   y, X   x, Y

Allowed substitution hints:   R( y)   V( x, y)   W( x, y)   X( x)   Y( y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsumdixp

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdixp.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2		gsumdixp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
3		gsumdixp.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
4		ringcmn 18581	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. CMnd )
6		gsumdixp.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
7		gsumdixp.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. W )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> J e. W )
9	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> R e. Ring )
10		gsumdixp.x	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> X e. B )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. I |-> X ) = ( x e. I |-> X )
12	10, 11	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> X ) : I --> B )
13		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( i e. I /\ j e. J ) -> i e. I )
14		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. I |-> X ) : I --> B /\ i e. I ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` i ) e. B )
15	12, 13, 14	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` i ) e. B )
16		gsumdixp.y	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. J ) -> Y e. B )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. J |-> Y ) = ( y e. J |-> Y )
18	16, 17	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. J |-> Y ) : J --> B )
19		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( i e. I /\ j e. J ) -> j e. J )
20		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. J |-> Y ) : J --> B /\ j e. J ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) e. B )
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) e. B )
22		gsumdixp.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
23	1, 22	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( x e. I |-> X ) ` i ) e. B /\ ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) e. B ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) e. B )
24	9, 15, 21, 23	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) e. B )
25		gsumdixp.xf	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> X ) finSupp .0. )
26	25	fsuppimpd 8282	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
27		gsumdixp.yf	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. J |-> Y ) finSupp .0. )
28	27	fsuppimpd 8282	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) e. Fin )
29		xpfi 8231	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) e. Fin /\ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) e. Fin ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) e. Fin )
30	26, 28, 29	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) e. Fin )
31		ianor 509	. . . . . . 7 |- ( -. ( i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) /\ j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) <-> ( -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) \/ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )
32		brxp 5147	. . . . . . 7 |- ( i ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) j <-> ( i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) /\ j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )
33	31, 32	xchnxbir 323	. . . . . 6 |- ( -. i ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) j <-> ( -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) \/ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )
34		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> i e. I )
35		eldif 3584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) <-> ( i e. I /\ -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) )
36	35	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. I /\ -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) -> i e. ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) )
37	34, 36	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) -> i e. ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) )
38	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( x e. I |-> X ) : I --> B )
39		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) C_ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) C_ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) )
41	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> I e. V )
42		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` R ) e. _V
43	2, 42	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. e. _V
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> .0. e. _V )
45	38, 40, 41, 44	suppssr 7326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ i e. ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` i ) = .0. )
46	37, 45	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` i ) = .0. )
47	46	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = ( .0. .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
48	1, 22, 2	ringlz 18587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) e. B ) -> ( .0. .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = .0. )
49	9, 21, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( .0. .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = .0. )
50	49	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) -> ( .0. .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = .0. )
51	47, 50	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = .0. )
52		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> j e. J )
53		eldif 3584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) <-> ( j e. J /\ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )
54	53	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. J /\ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) -> j e. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )
55	52, 54	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) -> j e. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )
56	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( y e. J |-> Y ) : J --> B )
57		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) C_ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. )
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) C_ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) )
59	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> J e. W )
60	56, 58, 59, 44	suppssr 7326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ j e. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) = .0. )
61	55, 60	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) = .0. )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. .0. ) )
63	1, 22, 2	ringrz 18588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( x e. I |-> X ) ` i ) e. B ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. .0. ) = .0. )
64	9, 15, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. .0. ) = .0. )
65	64	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. .0. ) = .0. )
66	62, 65	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = .0. )
67	51, 66	jaodan 826	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ ( -. i e. ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) \/ -. j e. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = .0. )
68	33, 67	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) /\ -. i ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) j ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = .0. )
69	68	anasss 679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( i e. I /\ j e. J ) /\ -. i ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) j ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = .0. )
70	1, 2, 5, 6, 8, 24, 30, 69	gsum2d2 18373	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( i e. I , j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( i e. I |-> ( R gsumg ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) ) ) ) )
71		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( x e. I |-> X ) ` i )
72		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x .x.
73		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( y e. J |-> Y ) ` j )
74	71, 72, 73	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) )
75		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y ( ( x e. I |-> X ) ` i )
76		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y .x.
77		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ y ( ( y e. J |-> Y ) ` j )
78	75, 76, 77	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ y ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) )
79		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ i ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) )
80		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) )
81		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = x -> ( ( x e. I |-> X ) ` i ) = ( ( x e. I |-> X ) ` x ) )
82		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) = ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) )
83	81, 82	oveqan12d 6669	. . . . . 6 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) )
84	74, 78, 79, 80, 83	cbvmpt2 6734	. . . . 5 |- ( i e. I , j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) = ( x e. I , y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) )
85		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> x e. I )
86	10	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> X e. B )
87	11	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I /\ X e. B ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` x ) = X )
88	85, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` x ) = X )
89		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> y e. J )
90	16	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> Y e. B )
91	17	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. J /\ Y e. B ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) = Y )
92	89, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) = Y )
93	88, 92	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) = ( X .x. Y ) )
94	93	mpt2eq3dva 6719	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. I , y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) = ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) )
95	84, 94	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. I , j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) = ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) )
96	95	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( i e. I , j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) )
97		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x R
98		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x gsumg
99		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x J
100	99, 74	nfmpt 4746	. . . . . . 7 |- F/_ x ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
101	97, 98, 100	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ x ( R gsumg ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) )
102		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ i ( R gsumg ( y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) )
103	81	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
104	103	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( i = x -> ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) = ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) )
105		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( ( x e. I |-> X ) ` x )
106	105, 76, 77	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) )
107	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( j = y -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) )
108	106, 80, 107	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) = ( y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) )
109	104, 108	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( i = x -> ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) = ( y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( i = x -> ( R gsumg ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) ) )
111	101, 102, 110	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( i e. I |-> ( R gsumg ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( R gsumg ( y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) ) )
112	93	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ y e. J ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) = ( X .x. Y ) )
113	112	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) = ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) )
114	113	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( R gsumg ( y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) ) = ( R gsumg ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) )
115	114	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( R gsumg ( y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( R gsumg ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) ) )
116	111, 115	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. I |-> ( R gsumg ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( R gsumg ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) ) )
117	116	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( i e. I |-> ( R gsumg ( j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. I |-> ( R gsumg ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) ) ) )
118	70, 96, 117	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) = ( R gsumg ( x e. I |-> ( R gsumg ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) ) ) )
119		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
120	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Ring )
121	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> J e. W )
122	16	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ y e. J ) -> Y e. B )
123	27	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( y e. J |-> Y ) finSupp .0. )
124	1, 2, 119, 22, 120, 121, 10, 122, 123	gsummulc2 18607	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( R gsumg ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) = ( X .x. ( R gsumg ( y e. J |-> Y ) ) ) )
125	124	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( R gsumg ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( X .x. ( R gsumg ( y e. J |-> Y ) ) ) ) )
126	125	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( x e. I |-> ( R gsumg ( y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. I |-> ( X .x. ( R gsumg ( y e. J |-> Y ) ) ) ) ) )
127	1, 2, 5, 7, 18, 27	gsumcl 18316	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( y e. J |-> Y ) ) e. B )
128	1, 2, 119, 22, 3, 6, 127, 10, 25	gsummulc1 18606	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( x e. I |-> ( X .x. ( R gsumg ( y e. J |-> Y ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( x e. I |-> X ) ) .x. ( R gsumg ( y e. J |-> Y ) ) ) )
129	118, 126, 128	3eqtrrd 2661	1 |- ( ph -> ( ( R gsumg ( x e. I |-> X ) ) .x. ( R gsumg ( y e. J |-> Y ) ) ) = ( R gsumg ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  evlslem2  19512