Theorem hbtlem6 37699

Description: There is a finite set of polynomials matching any single stage of the image. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	|- P = (Poly1 ` R )
hbtlem.u	|- U = (LIdeal ` P )
hbtlem.s	|- S = (ldgIdlSeq ` R )
hbtlem6.n	|- N = (RSpan ` P )
hbtlem6.r	|- ( ph -> R e. LNoeR )
hbtlem6.i	|- ( ph -> I e. U )
hbtlem6.x	|- ( ph -> X e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
hbtlem6	|- ( ph -> E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( ( S ` I ) ` X ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) )

Distinct variable groups:   ph, k   k, I   R, k   S, k   k, X

Allowed substitution hints:   P( k)   U( k)   N( k)

Proof of Theorem hbtlem6

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbtlem6.r	. . 3 |- ( ph -> R e. LNoeR )
2		lnrring 37682	. . . . 5 |- ( R e. LNoeR -> R e. Ring )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
4		hbtlem6.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. U )
5		hbtlem6.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. NN0 )
6		hbtlem.p	. . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
7		hbtlem.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` P )
8		hbtlem.s	. . . . 5 |- S = (ldgIdlSeq ` R )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
10	6, 7, 8, 9	hbtlem2 37694	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` X ) e. (LIdeal ` R ) )
11	3, 4, 5, 10	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( S ` I ) ` X ) e. (LIdeal ` R ) )
12		eqid 2622	. . . 4 |- (RSpan ` R ) = (RSpan ` R )
13	9, 12	lnr2i 37686	. . 3 |- ( ( R e. LNoeR /\ ( ( S ` I ) ` X ) e. (LIdeal ` R ) ) -> E. a e. ( ~P ( ( S ` I ) ` X ) i^i Fin ) ( ( S ` I ) ` X ) = ( (RSpan ` R ) ` a ) )
14	1, 11, 13	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E. a e. ( ~P ( ( S ` I ) ` X ) i^i Fin ) ( ( S ` I ) ` X ) = ( (RSpan ` R ) ` a ) )
15		elfpw 8268	. . . . 5 |- ( a e. ( ~P ( ( S ` I ) ` X ) i^i Fin ) <-> ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) )
16		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( (coe1 ` b ) ` X ) e. _V
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) = ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) )
18	16, 17	fnmpti 6022	. . . . . . . 8 |- ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) Fn { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X }
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) Fn { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } )
20		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> a C_ ( ( S ` I ) ` X ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( deg1 ` R ) = ( deg1 ` R )
22	6, 7, 8, 21	hbtlem1 37693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. LNoeR /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` X ) = { d | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
23	1, 4, 5, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S ` I ) ` X ) = { d | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
24	17	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) = { d | E. b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } d = ( (coe1 ` b ) ` X ) }
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = b -> ( ( deg1 ` R ) ` c ) = ( ( deg1 ` R ) ` b ) )
26	25	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = b -> ( ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X ) )
27	26	rexrab 3370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } d = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
28	27	abbii 2739	. . . . . . . . . . 11 |- { d | E. b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } d = ( (coe1 ` b ) ` X ) } = { d | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) }
29	24, 28	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ran ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) = { d | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) }
30	23, 29	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S ` I ) ` X ) = ran ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> ( ( S ` I ) ` X ) = ran ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
32	20, 31	sseqtrd 3641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> a C_ ran ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
33		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> a e. Fin )
34		fipreima 8272	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) Fn { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ a C_ ran ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) /\ a e. Fin ) -> E. k e. ( ~P { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } i^i Fin ) ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a )
35	19, 32, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> E. k e. ( ~P { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } i^i Fin ) ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a )
36		elfpw 8268	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ~P { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } i^i Fin ) <-> ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) )
37		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } C_ I
38		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } -> ( { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } C_ I -> k C_ I ) )
39	37, 38	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } -> k C_ I )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } ) -> k C_ I )
41		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P I <-> k C_ I )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } ) -> k e. ~P I )
43	42	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> k e. ~P I )
44		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> k e. Fin )
45	43, 44	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> k e. ( ~P I i^i Fin ) )
46	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> R e. Ring )
47	6	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
48	3, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. Ring )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> P e. Ring )
50		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } )
51	50, 37	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> k C_ I )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
53	52, 7	lidlss 19210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` P ) )
54	4, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I C_ ( Base ` P ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> I C_ ( Base ` P ) )
56	51, 55	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> k C_ ( Base ` P ) )
57		hbtlem6.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- N = (RSpan ` P )
58	57, 52, 7	rspcl 19222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. Ring /\ k C_ ( Base ` P ) ) -> ( N ` k ) e. U )
59	49, 56, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( N ` k ) e. U )
60	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> X e. NN0 )
61	6, 7, 8, 9	hbtlem2 37694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( N ` k ) e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) e. (LIdeal ` R ) )
62	46, 59, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) e. (LIdeal ` R ) )
63		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = ran ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k )
64	57, 52	rspssid 19223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. Ring /\ k C_ ( Base ` P ) ) -> k C_ ( N ` k ) )
65	49, 56, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> k C_ ( N ` k ) )
66		ssrab 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } <-> ( k C_ I /\ A. c e. k ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X ) )
67	66	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } -> A. c e. k ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X )
68	67	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> A. c e. k ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X )
69		ssrab 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k C_ { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } <-> ( k C_ ( N ` k ) /\ A. c e. k ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X ) )
70	65, 68, 69	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> k C_ { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } )
71	70	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) = ( b e. k |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
72		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } -> ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) = ( b e. k |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
73	72	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) = ( b e. k |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
74	71, 73	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) = ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) )
75		resss 5422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) C_ ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) )
76	74, 75	syl6eqssr 3656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) C_ ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
77		rnss 5354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) C_ ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) -> ran ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) C_ ran ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ran ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) |` k ) C_ ran ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
79	63, 78	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) C_ ran ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
80	6, 7, 8, 21	hbtlem1 37693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ ( N ` k ) e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) = { e | E. b e. ( N ` k ) ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
81	46, 59, 60, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) = { e | E. b e. ( N ` k ) ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) } )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) = ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) )
83	82	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) = { e | E. b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } e = ( (coe1 ` b ) ` X ) }
84	26	rexrab 3370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } e = ( (coe1 ` b ) ` X ) <-> E. b e. ( N ` k ) ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
85	84	abbii 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { e | E. b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } e = ( (coe1 ` b ) ` X ) } = { e | E. b e. ( N ` k ) ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) }
86	83, 85	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) = { e | E. b e. ( N ` k ) ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( (coe1 ` b ) ` X ) ) }
87	81, 86	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) = ran ( b e. { c e. ( N ` k ) | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) )
88	79, 87	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) )
89	12, 9	rspssp 19226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) e. (LIdeal ` R ) /\ ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) -> ( (RSpan ` R ) ` ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) )
90	46, 62, 88, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( (RSpan ` R ) ` ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) )
91	45, 90	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( k e. ( ~P I i^i Fin ) /\ ( (RSpan ` R ) ` ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) )
92		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a -> ( (RSpan ` R ) ` ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) ) = ( (RSpan ` R ) ` a ) )
93	92	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a -> ( ( (RSpan ` R ) ` ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) <-> ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) )
94	93	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a -> ( ( k e. ( ~P I i^i Fin ) /\ ( (RSpan ` R ) ` ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) <-> ( k e. ( ~P I i^i Fin ) /\ ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) ) )
95	91, 94	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k C_ { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } /\ k e. Fin ) ) -> ( ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a -> ( k e. ( ~P I i^i Fin ) /\ ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) ) )
96	36, 95	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ~P { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } i^i Fin ) ) -> ( ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a -> ( k e. ( ~P I i^i Fin ) /\ ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) ) )
97	96	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. ( ~P { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } i^i Fin ) /\ ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a ) -> ( k e. ( ~P I i^i Fin ) /\ ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) ) )
98	97	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> ( ( k e. ( ~P { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } i^i Fin ) /\ ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a ) -> ( k e. ( ~P I i^i Fin ) /\ ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) ) )
99	98	reximdv2 3014	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> ( E. k e. ( ~P { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } i^i Fin ) ( ( b e. { c e. I | ( ( deg1 ` R ) ` c ) <_ X } |-> ( (coe1 ` b ) ` X ) ) " k ) = a -> E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) )
100	35, 99	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a C_ ( ( S ` I ) ` X ) /\ a e. Fin ) ) -> E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) )
101	15, 100	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P ( ( S ` I ) ` X ) i^i Fin ) ) -> E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) )
102		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( ( ( S ` I ) ` X ) = ( (RSpan ` R ) ` a ) -> ( ( ( S ` I ) ` X ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) <-> ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) )
103	102	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( ( ( S ` I ) ` X ) = ( (RSpan ` R ) ` a ) -> ( E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( ( S ` I ) ` X ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) <-> E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( (RSpan ` R ) ` a ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) )
104	101, 103	syl5ibrcom 237	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P ( ( S ` I ) ` X ) i^i Fin ) ) -> ( ( ( S ` I ) ` X ) = ( (RSpan ` R ) ` a ) -> E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( ( S ` I ) ` X ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) )
105	104	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. ( ~P ( ( S ` I ) ` X ) i^i Fin ) ( ( S ` I ) ` X ) = ( (RSpan ` R ) ` a ) -> E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( ( S ` I ) ` X ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) ) )
106	14, 105	mpd 15	1 |- ( ph -> E. k e. ( ~P I i^i Fin ) ( ( S ` I ) ` X ) C_ ( ( S ` ( N ` k ) ) ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   Fincfn 7955   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   Ringcrg 18547  LIdealclidl 19170  RSpancrsp 19171  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814  LNoeRclnr 37679  ldgIdlSeqcldgis 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-lfig 37638  df-lnm 37646  df-lnr 37680  df-ldgis 37692

This theorem is referenced by:  hbt  37700