Theorem hbtlem5 37698

Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	|- P = (Poly1 ` R )
hbtlem.u	|- U = (LIdeal ` P )
hbtlem.s	|- S = (ldgIdlSeq ` R )
hbtlem3.r	|- ( ph -> R e. Ring )
hbtlem3.i	|- ( ph -> I e. U )
hbtlem3.j	|- ( ph -> J e. U )
hbtlem3.ij	|- ( ph -> I C_ J )
hbtlem5.e	|- ( ph -> A. x e. NN0 ( ( S ` J ) ` x ) C_ ( ( S ` I ) ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
hbtlem5	|- ( ph -> I = J )

Distinct variable groups:   x, I   x, J   x, S

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x)   R( x)   U( x)

Proof of Theorem hbtlem5

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbtlem3.ij	. 2 |- ( ph -> I C_ J )
2		hbtlem3.j	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. U )
3		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
4		hbtlem.u	. . . . . . . . . 10 |- U = (LIdeal ` P )
5	3, 4	lidlss 19210	. . . . . . . . 9 |- ( J e. U -> J C_ ( Base ` P ) )
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J C_ ( Base ` P ) )
7	6	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> a e. ( Base ` P ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( deg1 ` R ) = ( deg1 ` R )
9		hbtlem.p	. . . . . . . 8 |- P = (Poly1 ` R )
10	8, 9, 3	deg1cl 23843	. . . . . . 7 |- ( a e. ( Base ` P ) -> ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. ( NN0 u. { -oo } ) )
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. ( NN0 u. { -oo } ) )
12		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. ( NN0 u. { -oo } ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. NN0 \/ ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. { -oo } ) )
13		nnssnn0 11295	. . . . . . . . 9 |- NN C_ NN0
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. NN0 -> ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. RR )
15		arch 11289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. RR -> E. b e. NN ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. NN0 -> E. b e. NN ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b )
17		ssrexv 3667	. . . . . . . . 9 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. b e. NN ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b ) )
18	13, 16, 17	mpsyl 68	. . . . . . . 8 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. NN0 -> E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b )
19		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. { -oo } -> ( ( deg1 ` R ) ` a ) = -oo )
20		0nn0 11307	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
21		mnflt0 11959	. . . . . . . . . . 11 |- -oo < 0
22		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = 0 -> ( -oo < b <-> -oo < 0 ) )
23	22	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. NN0 /\ -oo < 0 ) -> E. b e. NN0 -oo < b )
24	20, 21, 23	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- E. b e. NN0 -oo < b
25		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) = -oo -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b <-> -oo < b ) )
26	25	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) = -oo -> ( E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b <-> E. b e. NN0 -oo < b ) )
27	24, 26	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) = -oo -> E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b )
28	19, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. { -oo } -> E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b )
29	18, 28	jaoi 394	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. NN0 \/ ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. { -oo } ) -> E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b )
30	12, 29	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) e. ( NN0 u. { -oo } ) -> E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b )
31	11, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b )
32		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = 0 -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c <-> ( ( deg1 ` R ) ` a ) < 0 ) )
33	32	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = 0 -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < 0 -> a e. I ) ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = 0 -> ( A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) <-> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < 0 -> a e. I ) ) )
35	34	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( c = 0 -> ( ( ph -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) ) <-> ( ph -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < 0 -> a e. I ) ) ) )
36		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = b -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c <-> ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b ) )
37	36	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = b -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) )
38	37	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = b -> ( A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) <-> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) )
39	38	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( c = b -> ( ( ph -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) ) <-> ( ph -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) ) )
40		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( b + 1 ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c <-> ( ( deg1 ` R ) ` a ) < ( b + 1 ) ) )
41	40	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( b + 1 ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < ( b + 1 ) -> a e. I ) ) )
42	41	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( b + 1 ) -> ( A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) <-> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < ( b + 1 ) -> a e. I ) ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = d -> ( ( deg1 ` R ) ` a ) = ( ( deg1 ` R ) ` d ) )
44	43	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = d -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < ( b + 1 ) <-> ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) ) )
45		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = d -> ( a e. I <-> d e. I ) )
46	44, 45	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = d -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < ( b + 1 ) -> a e. I ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) -> d e. I ) ) )
47	46	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < ( b + 1 ) -> a e. I ) <-> A. d e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) -> d e. I ) )
48	42, 47	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( b + 1 ) -> ( A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) <-> A. d e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) -> d e. I ) ) )
49	48	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( b + 1 ) -> ( ( ph -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < c -> a e. I ) ) <-> ( ph -> A. d e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) -> d e. I ) ) ) )
50		hbtlem3.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. Ring )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> R e. Ring )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
53	8, 9, 52, 3	deg1lt0 23851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ a e. ( Base ` P ) ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < 0 <-> a = ( 0g ` P ) ) )
54	51, 7, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < 0 <-> a = ( 0g ` P ) ) )
55	9	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. Ring )
57		hbtlem3.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I e. U )
58	4, 52	lidl0cl 19212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` P ) e. I )
59	56, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0g ` P ) e. I )
60		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0g ` P ) e. I -> ( a = ( 0g ` P ) -> a e. I ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( a = ( 0g ` P ) -> a e. I ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( a = ( 0g ` P ) -> a e. I ) )
63	54, 62	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < 0 -> a e. I ) )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < 0 -> a e. I ) )
65	6	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) -> J C_ ( Base ` P ) )
66	65	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ d e. J ) -> d e. ( Base ` P ) )
67	8, 9, 3	deg1cl 23843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. ( Base ` P ) -> ( ( deg1 ` R ) ` d ) e. ( NN0 u. { -oo } ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ d e. J ) -> ( ( deg1 ` R ) ` d ) e. ( NN0 u. { -oo } ) )
69		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ d e. J ) -> b e. NN0 )
70	69	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ d e. J ) -> b e. ZZ )
71		degltp1le 23833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) e. ( NN0 u. { -oo } ) /\ b e. ZZ ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) <-> ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) )
72	68, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ d e. J ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) <-> ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) )
73		hbtlem5.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. x e. NN0 ( ( S ` J ) ` x ) C_ ( ( S ` I ) ` x ) )
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = b -> ( ( S ` J ) ` x ) = ( ( S ` J ) ` b ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = b -> ( ( S ` I ) ` x ) = ( ( S ` I ) ` b ) )
76	74, 75	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = b -> ( ( ( S ` J ) ` x ) C_ ( ( S ` I ) ` x ) <-> ( ( S ` J ) ` b ) C_ ( ( S ` I ) ` b ) ) )
77	76	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( ( S ` J ) ` x ) C_ ( ( S ` I ) ` x ) ) -> ( ( S ` J ) ` b ) C_ ( ( S ` I ) ` b ) )
78	73, 77	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. NN0 /\ ph ) -> ( ( S ` J ) ` b ) C_ ( ( S ` I ) ` b ) )
79	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. NN0 /\ ph ) -> R e. Ring )
80	2	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. NN0 /\ ph ) -> J e. U )
81		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. NN0 /\ ph ) -> b e. NN0 )
82		hbtlem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- S = (ldgIdlSeq ` R )
83	9, 4, 82, 8	hbtlem1 37693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ J e. U /\ b e. NN0 ) -> ( ( S ` J ) ` b ) = { c | E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
84	79, 80, 81, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. NN0 /\ ph ) -> ( ( S ` J ) ` b ) = { c | E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
85	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. NN0 /\ ph ) -> I e. U )
86	9, 4, 82, 8	hbtlem1 37693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ b e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` b ) = { c | E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
87	79, 85, 81, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. NN0 /\ ph ) -> ( ( S ` I ) ` b ) = { c | E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
88	78, 84, 87	3sstr3d 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. NN0 /\ ph ) -> { c | E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } C_ { c | E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
89	88	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) -> { c | E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } C_ { c | E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) -> { c | E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } C_ { c | E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
91		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) -> d e. J )
92		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) -> ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b )
93		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) -> ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` d ) ` b ) )
94		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( e = d -> ( ( deg1 ` R ) ` e ) = ( ( deg1 ` R ) ` d ) )
95	94	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( e = d -> ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b <-> ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( e = d -> (coe1 ` e ) = (coe1 ` d ) )
97	96	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( e = d -> ( (coe1 ` e ) ` b ) = ( (coe1 ` d ) ` b ) )
98	97	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( e = d -> ( ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) <-> ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` d ) ` b ) ) )
99	95, 98	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( e = d -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` d ) ` b ) ) ) )
100	99	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d e. J /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` d ) ` b ) ) ) -> E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) )
101	91, 92, 93, 100	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) -> E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) )
102		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (coe1 ` d ) ` b ) e. _V
103		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( c = ( (coe1 ` d ) ` b ) -> ( c = ( (coe1 ` e ) ` b ) <-> ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) )
104	103	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c = ( (coe1 ` d ) ` b ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) )
105	104	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c = ( (coe1 ` d ) ` b ) -> ( E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) <-> E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) )
106	102, 105	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (coe1 ` d ) ` b ) e. { c | E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } <-> E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) )
107	101, 106	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) -> ( (coe1 ` d ) ` b ) e. { c | E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) -> ( (coe1 ` d ) ` b ) e. { c | E. e e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
109	90, 108	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) -> ( (coe1 ` d ) ` b ) e. { c | E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } )
110	104	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( (coe1 ` d ) ` b ) -> ( E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) <-> E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) )
111	102, 110	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (coe1 ` d ) ` b ) e. { c | E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } <-> E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) )
112		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ph )
113	112, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> P e. Ring )
114		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. Ring -> P e. Grp )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> P e. Grp )
116	112, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> J C_ ( Base ` P ) )
117		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> d e. J )
118	116, 117	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> d e. ( Base ` P ) )
119	3, 4	lidlss 19210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` P ) )
120	57, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> I C_ ( Base ` P ) )
121	112, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> I C_ ( Base ` P ) )
122		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> e e. I )
123	121, 122	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> e e. ( Base ` P ) )
124		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
125		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -g ` P ) = ( -g ` P )
126	3, 124, 125	grpnpcan 17507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. Grp /\ d e. ( Base ` P ) /\ e e. ( Base ` P ) ) -> ( ( d ( -g ` P ) e ) ( +g ` P ) e ) = d )
127	115, 118, 123, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( ( d ( -g ` P ) e ) ( +g ` P ) e ) = d )
128	57	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) -> I e. U )
129	128	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> I e. U )
130		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> b e. NN0 )
131	112, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> R e. Ring )
132		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b )
133		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b )
134		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (coe1 ` d ) = (coe1 ` d )
135		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (coe1 ` e ) = (coe1 ` e )
136		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) )
137	8, 9, 3, 125, 130, 131, 118, 132, 123, 133, 134, 135, 136	deg1sublt 23870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( d ( -g ` P ) e ) ) < b )
138	112, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> J e. U )
139	1	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) -> I C_ J )
140	139	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> I C_ J )
141	140, 122	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> e e. J )
142	4, 125	lidlsubcl 19216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. Ring /\ J e. U ) /\ ( d e. J /\ e e. J ) ) -> ( d ( -g ` P ) e ) e. J )
143	113, 138, 117, 141, 142	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( d ( -g ` P ) e ) e. J )
144		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) )
145		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = ( d ( -g ` P ) e ) -> ( ( deg1 ` R ) ` a ) = ( ( deg1 ` R ) ` ( d ( -g ` P ) e ) ) )
146	145	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = ( d ( -g ` P ) e ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b <-> ( ( deg1 ` R ) ` ( d ( -g ` P ) e ) ) < b ) )
147		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = ( d ( -g ` P ) e ) -> ( a e. I <-> ( d ( -g ` P ) e ) e. I ) )
148	146, 147	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = ( d ( -g ` P ) e ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` ( d ( -g ` P ) e ) ) < b -> ( d ( -g ` P ) e ) e. I ) ) )
149	148	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( d ( -g ` P ) e ) e. J /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` ( d ( -g ` P ) e ) ) < b -> ( d ( -g ` P ) e ) e. I ) )
150	143, 144, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` ( d ( -g ` P ) e ) ) < b -> ( d ( -g ` P ) e ) e. I ) )
151	137, 150	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( d ( -g ` P ) e ) e. I )
152	4, 124	lidlacl 19213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. Ring /\ I e. U ) /\ ( ( d ( -g ` P ) e ) e. I /\ e e. I ) ) -> ( ( d ( -g ` P ) e ) ( +g ` P ) e ) e. I )
153	113, 129, 151, 122, 152	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> ( ( d ( -g ` P ) e ) ( +g ` P ) e ) e. I )
154	127, 153	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) /\ ( e e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) ) ) -> d e. I )
155	154	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) -> ( E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ ( (coe1 ` d ) ` b ) = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) -> d e. I ) )
156	111, 155	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) -> ( ( (coe1 ` d ) ` b ) e. { c | E. e e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` e ) <_ b /\ c = ( (coe1 ` e ) ` b ) ) } -> d e. I ) )
157	109, 156	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ ( d e. J /\ ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b ) ) -> d e. I )
158	157	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ d e. J ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) <_ b -> d e. I ) )
159	72, 158	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) /\ d e. J ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) -> d e. I ) )
160	159	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. NN0 /\ ph /\ A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) -> A. d e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) -> d e. I ) )
161	160	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN0 -> ( ph -> ( A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) -> A. d e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) -> d e. I ) ) ) )
162	161	a2d 29	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. NN0 -> ( ( ph -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) -> ( ph -> A. d e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` d ) < ( b + 1 ) -> d e. I ) ) ) )
163	35, 39, 49, 39, 64, 162	nn0ind 11472	. . . . . . . . 9 |- ( b e. NN0 -> ( ph -> A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) )
164		rsp 2929	. . . . . . . . 9 |- ( A. a e. J ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) -> ( a e. J -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) )
165	163, 164	syl6com 37	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( b e. NN0 -> ( a e. J -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) ) )
166	165	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( a e. J -> ( b e. NN0 -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) ) )
167	166	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( b e. NN0 -> ( ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) ) )
168	167	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( E. b e. NN0 ( ( deg1 ` R ) ` a ) < b -> a e. I ) )
169	31, 168	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> a e. I )
170	169	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( a e. J -> a e. I ) )
171	170	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> J C_ I )
172	1, 171	eqssd 3620	1 |- ( ph -> I = J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   -oocmnf 10072   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   Ringcrg 18547  LIdealclidl 19170  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814  ldgIdlSeqcldgis 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rlreg 19283  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-ldgis 37692

This theorem is referenced by:  hbt  37700