Theorem imasf1omet 22181

Description: The image of a metric is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1oxmet.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasf1oxmet.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasf1oxmet.f	|- ( ph -> F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oxmet.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasf1oxmet.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
imasf1oxmet.d	|- D = ( dist ` U )
imasf1omet.m	|- ( ph -> E e. ( Met ` V ) )

Assertion

Ref	Expression
imasf1omet	|- ( ph -> D e. ( Met ` B ) )

Proof of Theorem imasf1omet

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1oxmet.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasf1oxmet.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasf1oxmet.f	. . 3 |- ( ph -> F : V -1-1-onto-> B )
4		imasf1oxmet.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Z )
5		imasf1oxmet.e	. . 3 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
6		imasf1oxmet.d	. . 3 |- D = ( dist ` U )
7		imasf1omet.m	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( Met ` V ) )
8		metxmet 22139	. . . 4 |- ( E e. ( Met ` V ) -> E e. ( *Met ` V ) )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( ph -> E e. ( *Met ` V ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	imasf1oxmet 22180	. 2 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
11		f1ofo 6144	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-onto-> B -> F : V -onto-> B )
12	3, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
13		eqid 2622	. . . 4 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
14	1, 2, 12, 4, 13, 6	imasdsfn 16174	. . 3 |- ( ph -> D Fn ( B X. B ) )
15	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> U = ( F "s R ) )
16	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
17	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> F : V -1-1-onto-> B )
18	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> R e. Z )
19	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> E e. ( *Met ` V ) )
20		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> a e. V )
21		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> b e. V )
22	15, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 21	imasdsf1o 22179	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = ( a E b ) )
23		metcl 22137	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( Met ` V ) /\ a e. V /\ b e. V ) -> ( a E b ) e. RR )
24	23	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( Met ` V ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a E b ) e. RR )
25	7, 24	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a E b ) e. RR )
26	22, 25	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR )
27	26	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ph -> A. a e. V A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR )
28		f1ofn 6138	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -1-1-onto-> B -> F Fn V )
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) D y ) = ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) D y ) e. RR <-> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR ) )
32	31	ralrn 6362	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F ( ( F ` a ) D y ) e. RR <-> A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR ) )
33	29, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. ran F ( ( F ` a ) D y ) e. RR <-> A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR ) )
34		forn 6118	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
35	12, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F = B )
36	35	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. ran F ( ( F ` a ) D y ) e. RR <-> A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR ) )
37	33, 36	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR <-> A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR ) )
38	37	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. a e. V A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR <-> A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR ) )
39	27, 38	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( x D y ) = ( ( F ` a ) D y ) )
41	40	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x D y ) e. RR <-> ( ( F ` a ) D y ) e. RR ) )
42	41	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. y e. B ( x D y ) e. RR <-> A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR ) )
43	42	ralrn 6362	. . . . . 6 |- ( F Fn V -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( x D y ) e. RR <-> A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR ) )
44	29, 43	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( x D y ) e. RR <-> A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR ) )
45	35	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( x D y ) e. RR <-> A. x e. B A. y e. B ( x D y ) e. RR ) )
46	44, 45	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR <-> A. x e. B A. y e. B ( x D y ) e. RR ) )
47	39, 46	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x D y ) e. RR )
48		ffnov 6764	. . 3 |- ( D : ( B X. B ) --> RR <-> ( D Fn ( B X. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x D y ) e. RR ) )
49	14, 47, 48	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> RR )
50		ismet2 22138	. 2 |- ( D e. ( Met ` B ) <-> ( D e. ( *Met ` B ) /\ D : ( B X. B ) --> RR ) )
51	10, 49, 50	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> D e. ( Met ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   Basecbs 15857   distcds 15950   "_s cimas 16164   *Metcxmt 19731   Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-xrs 16162  df-imas 16168  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-xmet 19739  df-met 19740

This theorem is referenced by:  xpsmet  22187  imasf1oms  22295