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Theorem imasf1oxmet 22180
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasf1oxmet.v |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasf1oxmet.f |- ( ph -> F : V -1-1-onto-> B )
imasf1oxmet.r |- ( ph -> R e. Z )
imasf1oxmet.e |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
imasf1oxmet.d |- D = ( dist ` U )
imasf1oxmet.m |- ( ph -> E e. ( *Met ` V ) )
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables a b x y z c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2 imasf1oxmet.v . . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3 imasf1oxmet.f . . . . 5 |- ( ph -> F : V -1-1-onto-> B )
4 f1ofo 6144 . . . . 5 |- ( F : V -1-1-onto-> B -> F : V -onto-> B )
53, 4syl 17 . . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
6 imasf1oxmet.r . . . 4 |- ( ph -> R e. Z )
7 eqid 2622 . . . 4 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
8 imasf1oxmet.d . . . 4 |- D = ( dist ` U )
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 16174 . . 3 |- ( ph -> D Fn ( B X. B ) )
101adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> U = ( F "s R ) )
112adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
123adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> F : V -1-1-onto-> B )
136adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> R e. Z )
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. ( *Met ` V ) )
1615adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> E e. ( *Met ` V ) )
17 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> a e. V )
18 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> b e. V )
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 22179 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = ( a E b ) )
20 xmetcl 22136 . . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ a e. V /\ b e. V ) -> ( a E b ) e. RR* )
21203expb 1266 . . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a E b ) e. RR* )
2215, 21sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a E b ) e. RR* )
2319, 22eqeltrd 2701 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR* )
2423ralrimivva 2971 . . . . 5 |- ( ph -> A. a e. V A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR* )
25 f1ofn 6138 . . . . . . . . 9 |- ( F : V -1-1-onto-> B -> F Fn V )
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
27 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) D y ) = ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) )
2827eleq1d 2686 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) D y ) e. RR* <-> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR* ) )
2928ralrn 6362 . . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F ( ( F ` a ) D y ) e. RR* <-> A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR* ) )
3026, 29syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. ran F ( ( F ` a ) D y ) e. RR* <-> A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR* ) )
31 forn 6118 . . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
325, 31syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F = B )
3332raleqdv 3144 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. ran F ( ( F ` a ) D y ) e. RR* <-> A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR* ) )
3430, 33bitr3d 270 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR* <-> A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR* ) )
3534ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. a e. V A. b e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) e. RR* <-> A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR* ) )
3624, 35mpbid 222 . . . 4 |- ( ph -> A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR* )
37 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( x D y ) = ( ( F ` a ) D y ) )
3837eleq1d 2686 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x D y ) e. RR* <-> ( ( F ` a ) D y ) e. RR* ) )
3938ralbidv 2986 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. y e. B ( x D y ) e. RR* <-> A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR* ) )
4039ralrn 6362 . . . . . 6 |- ( F Fn V -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( x D y ) e. RR* <-> A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR* ) )
4126, 40syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( x D y ) e. RR* <-> A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR* ) )
4232raleqdv 3144 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( x D y ) e. RR* <-> A. x e. B A. y e. B ( x D y ) e. RR* ) )
4341, 42bitr3d 270 . . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. V A. y e. B ( ( F ` a ) D y ) e. RR* <-> A. x e. B A. y e. B ( x D y ) e. RR* ) )
4436, 43mpbid 222 . . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x D y ) e. RR* )
45 ffnov 6764 . . 3 |- ( D : ( B X. B ) --> RR* <-> ( D Fn ( B X. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x D y ) e. RR* ) )
469, 44, 45sylanbrc 698 . 2 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> RR* )
47 xmeteq0 22143 . . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ a e. V /\ b e. V ) -> ( ( a E b ) = 0 <-> a = b ) )
4816, 17, 18, 47syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( a E b ) = 0 <-> a = b ) )
4919eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( a E b ) = 0 ) )
50 f1of1 6136 . . . . . . . . 9 |- ( F : V -1-1-onto-> B -> F : V -1-1-> B )
513, 50syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : V -1-1-> B )
52 f1fveq 6519 . . . . . . . 8 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> a = b ) )
5351, 52sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> a = b ) )
5448, 49, 533bitr4d 300 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
5516adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> E e. ( *Met ` V ) )
56 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> c e. V )
5717adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> a e. V )
5818adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> b e. V )
59 xmettri2 22145 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( c e. V /\ a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a E b ) <_ ( ( c E a ) +e ( c E b ) ) )
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1328 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> ( a E b ) <_ ( ( c E a ) +e ( c E b ) ) )
6119adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = ( a E b ) )
6210adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> U = ( F "s R ) )
6311adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> V = ( Base ` R ) )
6412adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> F : V -1-1-onto-> B )
6513adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> R e. Z )
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 22179 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) = ( c E a ) )
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 22179 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) = ( c E b ) )
6866, 67oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) = ( ( c E a ) +e ( c E b ) ) )
6960, 61, 683brtr4d 4685 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) -> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) )
7069ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> A. c e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) )
71 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F ` c ) -> ( z D ( F ` a ) ) = ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) )
72 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F ` c ) -> ( z D ( F ` b ) ) = ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) )
7371, 72oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) = ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) )
7473breq2d 4665 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) <-> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) ) )
7574ralrn 6362 . . . . . . . . . 10 |- ( F Fn V -> ( A. z e. ran F ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) <-> A. c e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) ) )
7626, 75syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ran F ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) <-> A. c e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) ) )
7732raleqdv 3144 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ran F ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) <-> A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) )
7876, 77bitr3d 270 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. c e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) <-> A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) )
7978adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( A. c e. V ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` c ) D ( F ` a ) ) +e ( ( F ` c ) D ( F ` b ) ) ) <-> A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) )
8070, 79mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) )
8154, 80jca 554 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) )
8281ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ph -> A. a e. V A. b e. V ( ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) )
8327eqeq1d 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 ) )
84 eqeq2 2633 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) = y <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
8583, 84bibi12d 335 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) <-> ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
86 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` b ) -> ( z D y ) = ( z D ( F ` b ) ) )
8786oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) )
8827, 87breq12d 4666 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) <-> ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) )
8988ralbidv 2986 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) <-> A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) )
9085, 89anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) ) )
9190ralrn 6362 . . . . . . 7 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. b e. V ( ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) ) )
9226, 91syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ran F ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. b e. V ( ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) ) )
9332raleqdv 3144 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ran F ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. y e. B ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
9492, 93bitr3d 270 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. b e. V ( ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) <-> A. y e. B ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
9594ralbidv 2986 . . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. V A. b e. V ( ( ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) = 0 <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D ( F ` b ) ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D ( F ` b ) ) ) ) <-> A. a e. V A. y e. B ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
9682, 95mpbid 222 . . 3 |- ( ph -> A. a e. V A. y e. B ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) )
9737eqeq1d 2624 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( F ` a ) D y ) = 0 ) )
98 eqeq1 2626 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( x = y <-> ( F ` a ) = y ) )
9997, 98bibi12d 335 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) ) )
100 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( F ` a ) -> ( z D x ) = ( z D ( F ` a ) ) )
101100oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) )
10237, 101breq12d 4666 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) )
103102ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) )
10499, 103anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
105104ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. y e. B ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
106105ralrn 6362 . . . . 5 |- ( F Fn V -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. a e. V A. y e. B ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
10726, 106syl 17 . . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. a e. V A. y e. B ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) ) )
10832raleqdv 3144 . . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ran F A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
109107, 108bitr3d 270 . . 3 |- ( ph -> ( A. a e. V A. y e. B ( ( ( ( F ` a ) D y ) = 0 <-> ( F ` a ) = y ) /\ A. z e. B ( ( F ` a ) D y ) <_ ( ( z D ( F ` a ) ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
11096, 109mpbid 222 . 2 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
11115elfvexd 6222 . . . 4 |- ( ph -> V e. _V )
112 fornex 7135 . . . 4 |- ( V e. _V -> ( F : V -onto-> B -> B e. _V ) )
113111, 5, 112sylc 65 . . 3 |- ( ph -> B e. _V )
114 isxmet 22129 . . 3 |- ( B e. _V -> ( D e. ( *Met ` B ) <-> ( D : ( B X. B ) --> RR* /\ A. x e. B A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
115113, 114syl 17 . 2 |- ( ph -> ( D e. ( *Met ` B ) <-> ( D : ( B X. B ) --> RR* /\ A. x e. B A. y e. B ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. B ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
11646, 110, 115mpbir2and 957 1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   +ecxad 11944   Basecbs 15857   distcds 15950   "s cimas 16164   *Metcxmt 19731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-xrs 16162  df-imas 16168  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-xmet 19739
This theorem is referenced by:  imasf1omet  22181  xpsxmet  22185  imasf1obl  22293  imasf1oxms  22294
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