Theorem iscygodd 18290

Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscygodd.1	|- B = ( Base ` G )
iscygodd.o	|- O = ( od ` G )
iscygodd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
iscygodd.4	|- ( ph -> X e. B )
iscygodd.5	|- ( ph -> ( O ` X ) = ( # ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
iscygodd	|- ( ph -> G e. CycGrp )

Proof of Theorem iscygodd

Dummy variables x n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscygodd.3	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		iscygodd.4	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		iscygodd.5	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` X ) = ( # ` B ) )
4		iscygodd.1	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
5		iscygodd.o	. . . . . . . . 9 |- O = ( od ` G )
6	4, 5	odcl 17955	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( O ` X ) e. NN0 )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( O ` X ) e. NN0 )
8	3, 7	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN0 )
9		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) e. _V
10	4, 9	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- B e. _V
11		hashclb 13149	. . . . . . 7 |- ( B e. _V -> ( B e. Fin <-> ( # ` B ) e. NN0 ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( B e. Fin <-> ( # ` B ) e. NN0 )
13	8, 12	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
15		eqid 2622	. . . . . 6 |- { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B } = { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B }
16	4, 14, 15, 5	cyggenod 18286	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ B e. Fin ) -> ( X e. { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B } <-> ( X e. B /\ ( O ` X ) = ( # ` B ) ) ) )
17	1, 13, 16	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B } <-> ( X e. B /\ ( O ` X ) = ( # ` B ) ) ) )
18	2, 3, 17	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ph -> X e. { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B } )
19		ne0i 3921	. . 3 |- ( X e. { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B } -> { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B } =/= (/) )
20	18, 19	syl 17	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B } =/= (/) )
21	4, 14, 15	iscyg2 18284	. 2 |- ( G e. CycGrp <-> ( G e. Grp /\ { x e. B | ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` G ) x ) ) = B } =/= (/) ) )
22	1, 20, 21	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> G e. CycGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   #chash 13117   Basecbs 15857   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   odcod 17944  CycGrpccyg 18279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-od 17948  df-cyg 18280

This theorem is referenced by:  prmcyg  18295  lt6abl  18296