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Theorem lt6abl 18296

Description: A group with fewer than

elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cygctb.1

**Assertion**
Ref	Expression
lt6abl	$/\$

Proof of Theorem lt6abl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . . . . 7
2	1	grpbn0 17451	. . . . . 6
3	2	adantr 481	. . . . 5 $/\$
4		6re 11101	. . . . . . . 8
5		rexr 10085	. . . . . . . 8
6		pnfnlt 11962	. . . . . . . 8
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . 7
8		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13
9	1, 8	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
11		hashinf 13122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	10, 11	sylan 488	. . . . . . . . . 10 $/\$
13	12	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 $/\$
14	13	biimpd 219	. . . . . . . 8 $/\$
15	14	impancom 456	. . . . . . 7 $/\$
16	7, 15	mt3i 141	. . . . . 6 $/\$
17		hashnncl 13157	. . . . . 6
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 $/\$
19	3, 18	mpbird 247	. . . 4 $/\$
20		nnuz 11723	. . . 4
21	19, 20	syl6eleq 2711	. . 3 $/\$
22		6nn 11189	. . . . 5
23	22	nnzi 11401	. . . 4
24	23	a1i 11	. . 3 $/\$
25		simpr 477	. . 3 $/\$
26		elfzo2 12473	. . 3 ..^ $/\$ $/\$
27	21, 24, 25, 26	syl3anbrc 1246	. 2 $/\$ ..^
28		df-6 11083	. . . . . . 7
29	28	oveq2i 6661	. . . . . 6 ..^ ..^
30	29	eleq2i 2693	. . . . 5 ..^ ..^
31		5nn 11188	. . . . . . 7
32	31, 20	eleqtri 2699	. . . . . 6
33		fzosplitsni 12579	. . . . . 6 ..^ ..^ $\/$
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ..^ ..^ $\/$
35	30, 34	bitri 264	. . . 4 ..^ ..^ $\/$
36		df-5 11082	. . . . . . . . 9
37	36	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 ..^ ..^
38	37	eleq2i 2693	. . . . . . 7 ..^ ..^
39		4nn 11187	. . . . . . . . 9
40	39, 20	eleqtri 2699	. . . . . . . 8
41		fzosplitsni 12579	. . . . . . . 8 ..^ ..^ $\/$
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ..^ ..^ $\/$
43	38, 42	bitri 264	. . . . . 6 ..^ ..^ $\/$
44		df-4 11081	. . . . . . . . . . 11
45	44	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^
46	45	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
47		3nn 11186	. . . . . . . . . . 11
48	47, 20	eleqtri 2699	. . . . . . . . . 10
49		fzosplitsni 12579	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^ $\/$
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ..^ ..^ $\/$
51	46, 50	bitri 264	. . . . . . . 8 ..^ ..^ $\/$
52		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
54	53	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
55		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . 12
56		fzosplitsni 12579	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ $\/$
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ $\/$
58	54, 57	bitri 264	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^ $\/$
59		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60		fzo12sn 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
61	59, 60	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^
63		hash1 13192	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	62, 63	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^
65		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66	62, 65	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
67		hashclb 13149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
68	9, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	66, 68	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^
70		1onn 7719	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71		nnfi 8153	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
73		hashen 13135	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
74	69, 72, 73	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^
75	64, 74	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
76	1	0cyg 18294	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ CycGrp
77		cygabl 18292	. . . . . . . . . . . . . 14 CycGrp
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79	75, 78	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
80	79	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ..^
81		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
82		2prm 15405	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12
84	1	prmcyg 18295	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ CycGrp
85	84, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
86	85	ex 450	. . . . . . . . . . . 12
87	83, 86	syl5 34	. . . . . . . . . . 11
88	80, 87	jaod 395	. . . . . . . . . 10 ..^ $\/$
89	58, 88	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 ..^
90		id 22	. . . . . . . . . . 11
91		3prm 15406	. . . . . . . . . . 11
92	90, 91	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . 10
93	92, 86	syl5 34	. . . . . . . . 9
94	89, 93	jaod 395	. . . . . . . 8 ..^ $\/$
95	51, 94	syl5bi 232	. . . . . . 7 ..^
96		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 $/\$
97		2z 11409	. . . . . . . . . . 11
98		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 gEx gEx
99		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
100	1, 98, 99	gexdvds2 18000	. . . . . . . . . . 11 $/\$ gEx
101	96, 97, 100	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$ gEx
102	1, 98	gex2abl 18254	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ gEx
103	102	ex 450	. . . . . . . . . . 11 gEx
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ gEx
105	101, 104	sylbird 250	. . . . . . . . 9 $/\$
106		rexnal 2995	. . . . . . . . . 10
107	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
108		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 99	odcl 17955	. . . . . . . . . . . . . . . 16
110	109	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
111		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
114	113, 111	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
115	114, 68	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
117	1, 99	oddvds2 17983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
118	107, 116, 108, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
121		sq2 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
122	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
123		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
125	1, 99	odcl2 17982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
126	107, 116, 108, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
127		pccl 15554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
128	82, 126, 127	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
130		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
132		dvdsexp 15049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
133	132	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
134	97, 128, 133	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
135		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
136		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
137	129, 135, 136	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
138		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
139	138, 121	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
140	139	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
141	140	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
142	123, 120, 141	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
143		pcprmpw2 15586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
144	82, 126, 143	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
146	145	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
147		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
148		exp1 12866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
149	147, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
151	146, 150	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
152	134, 137, 151	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
153	131, 152	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
154		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
155	128	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
156		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
157	154, 155, 156	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
158	153, 157	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
159		nn0ltp1le 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
160	65, 128, 159	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
161	158, 160	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
162	130, 161	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
163		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
164	122, 129, 162, 163	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
165		dvdsexp 15049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
166	122, 124, 164, 165	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
167	121, 166	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
168	167, 145	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
169		dvdseq 15036	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
170	110, 112, 120, 168, 169	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
171	170, 119	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
172	1, 99, 107, 108, 171	iscygodd 18290	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ CycGrp
173	172, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
174	173	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . 10 $/\$
175	106, 174	syl5bir 233	. . . . . . . . 9 $/\$
176	105, 175	pm2.61d 170	. . . . . . . 8 $/\$
177	176	ex 450	. . . . . . 7
178	95, 177	jaod 395	. . . . . 6 ..^ $\/$
179	43, 178	syl5bi 232	. . . . 5 ..^
180		id 22	. . . . . . 7
181		5prm 15815	. . . . . . 7
182	180, 181	syl6eqel 2709	. . . . . 6
183	182, 86	syl5 34	. . . . 5
184	179, 183	jaod 395	. . . 4 ..^ $\/$
185	35, 184	syl5bi 232	. . 3 ..^
186	185	imp 445	. 2 $/\$ ..^
187	27, 186	syldan 487	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

c0 3915

csn 4177 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

com 7065

c1o 7553

cen 7952

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c5 11073

c6 11074

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687 ..^cfzo 12465

cexp 12860

chash 13117

cdvds 14983

cprime 15385

cpc 15541

cbs 15857

cgrp 17422

cod 17944 gExcgex 17945

cabl 18194 CycGrpccyg 18279

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-ec 7744 df-qs 7748 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-0g 16102 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-eqg 17593 df-od 17948 df-gex 17949 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-cyg 18280

This theorem is referenced by: pgrple2abl 42146

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