Theorem isercoll2 14399

Description: Generalize isercoll 14398 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isercoll2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isercoll2.w	|- W = ( ZZ>= ` N )
isercoll2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
isercoll2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
isercoll2.g	|- ( ph -> G : Z --> W )
isercoll2.i	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
isercoll2.0	|- ( ( ph /\ n e. ( W \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
isercoll2.f	|- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( F ` n ) e. CC )
isercoll2.h	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isercoll2	|- ( ph -> ( seq M ( + , H ) ~~> A <-> seq N ( + , F ) ~~> A ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F, n   k, G, n   k, H, n   n, N   k, M, n   ph, k, n   n, W   k, Z

Allowed substitution hints:   N( k)   W( k)   Z( n)

Proof of Theorem isercoll2

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isercoll2.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		isercoll2.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		1z 11407	. . . 4 |- 1 e. ZZ
4		zsubcl 11419	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
5	3, 2, 4	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. ZZ )
6		seqex 12803	. . . 4 |- seq M ( + , H ) e. _V
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , H ) e. _V )
8		seqex 12803	. . . 4 |- seq 1 ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) e. _V
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) e. _V )
10		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
11	10, 1	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
12	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
13		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ph )
14		elfzuz 12338	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M ... k ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
15	14, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( j e. ( M ... k ) -> j e. Z )
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
17	16, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
18		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ZZ )
20	19	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. CC )
21	2	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> M e. CC )
23		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> 1 e. CC )
24	20, 22, 23	subadd23d 10414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( j - M ) + 1 ) = ( j + ( 1 - M ) ) )
25		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j - M ) e. NN0 )
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j - M ) e. NN0 )
27		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - M ) e. NN0 -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
29	24, 28	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + ( 1 - M ) ) e. NN )
30		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( j + ( 1 - M ) ) -> ( x - 1 ) = ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( j + ( 1 - M ) ) -> ( M + ( x - 1 ) ) = ( M + ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( j + ( 1 - M ) ) -> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) = ( H ` ( M + ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) ) ) )
33		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) = ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) )
34		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( H ` ( M + ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) ) ) e. _V
35	32, 33, 34	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( ( j + ( 1 - M ) ) e. NN -> ( ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` ( j + ( 1 - M ) ) ) = ( H ` ( M + ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) ) ) )
36	29, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` ( j + ( 1 - M ) ) ) = ( H ` ( M + ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) ) ) )
37	24	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( ( j - M ) + 1 ) - 1 ) = ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) )
38	26	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j - M ) e. CC )
39		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
40		pncan 10287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j - M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( j - M ) + 1 ) - 1 ) = ( j - M ) )
41	38, 39, 40	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( ( j - M ) + 1 ) - 1 ) = ( j - M ) )
42	37, 41	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) = ( j - M ) )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( M + ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) ) = ( M + ( j - M ) ) )
44	22, 20	pncan3d 10395	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( M + ( j - M ) ) = j )
45	43, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( M + ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) ) = j )
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` ( M + ( ( j + ( 1 - M ) ) - 1 ) ) ) = ( H ` j ) )
47	36, 46	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` ( j + ( 1 - M ) ) ) )
48	13, 15, 47	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ j e. ( M ... k ) ) -> ( H ` j ) = ( ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` ( j + ( 1 - M ) ) ) )
49	11, 12, 48	seqshft2 12827	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( seq M ( + , H ) ` k ) = ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
50	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> M e. CC )
51		pncan3 10289	. . . . . . 7 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
52	50, 39, 51	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
53	52	seqeq1d 12807	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> seq ( M + ( 1 - M ) ) ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) )
54	53	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
55	49, 54	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( seq 1 ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( seq M ( + , H ) ` k ) )
56	1, 2, 5, 7, 9, 55	climshft2 14313	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , H ) ~~> A <-> seq 1 ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) ~~> A ) )
57		isercoll2.w	. . 3 |- W = ( ZZ>= ` N )
58		isercoll2.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
59		isercoll2.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : Z --> W )
60	59	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> G : Z --> W )
61		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
62	2, 61	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
63		nnm1nn0 11334	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( x - 1 ) e. NN0 )
64		uzaddcl 11744	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x - 1 ) e. NN0 ) -> ( M + ( x - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
65	62, 63, 64	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( M + ( x - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
66	65, 1	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( M + ( x - 1 ) ) e. Z )
67	60, 66	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) e. W )
68		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) = ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) )
69	67, 68	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) : NN --> W )
70		nnm1nn0 11334	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 )
71		uzaddcl 11744	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( j - 1 ) e. NN0 ) -> ( M + ( j - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
72	62, 70, 71	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( M + ( j - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
73	72, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( M + ( j - 1 ) ) e. Z )
74		isercoll2.i	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
75	74	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. Z ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
76	75	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A. k e. Z ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
77		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = ( M + ( j - 1 ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) )
78		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( M + ( j - 1 ) ) -> ( k + 1 ) = ( ( M + ( j - 1 ) ) + 1 ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( k = ( M + ( j - 1 ) ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) = ( G ` ( ( M + ( j - 1 ) ) + 1 ) ) )
80	77, 79	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( k = ( M + ( j - 1 ) ) -> ( ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) <-> ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) < ( G ` ( ( M + ( j - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
81	80	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( M + ( j - 1 ) ) e. Z -> ( A. k e. Z ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) < ( G ` ( ( M + ( j - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
82	73, 76, 81	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) < ( G ` ( ( M + ( j - 1 ) ) + 1 ) ) )
83		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> j e. CC )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
85		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
86	84, 85, 85	addsubd 10413	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = ( ( j - 1 ) + 1 ) )
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) = ( M + ( ( j - 1 ) + 1 ) ) )
88	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> M e. CC )
89	70	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
90	89	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j - 1 ) e. CC )
91	88, 90, 85	addassd 10062	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( M + ( j - 1 ) ) + 1 ) = ( M + ( ( j - 1 ) + 1 ) ) )
92	87, 91	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) = ( ( M + ( j - 1 ) ) + 1 ) )
93	92	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( G ` ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( M + ( j - 1 ) ) + 1 ) ) )
94	82, 93	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) < ( G ` ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
95		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = j -> ( x - 1 ) = ( j - 1 ) )
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = j -> ( M + ( x - 1 ) ) = ( M + ( j - 1 ) ) )
97	96	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = j -> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) = ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) )
98		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) e. _V
99	97, 68, 98	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` j ) = ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) )
100	99	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` j ) = ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) )
101		peano2nn 11032	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
102	101	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) e. NN )
103		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( j + 1 ) - 1 ) )
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( M + ( x - 1 ) ) = ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) = ( G ` ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
106		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( G ` ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) e. _V
107	105, 68, 106	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( G ` ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
108	102, 107	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( G ` ( M + ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
109	94, 100, 108	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` j ) < ( ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
110		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( G : Z --> W -> G Fn Z )
111	59, 110	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G Fn Z )
112		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k - M ) e. NN0 )
113	11, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k - M ) e. NN0 )
114		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k - M ) e. NN0 -> ( ( k - M ) + 1 ) e. NN )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k - M ) + 1 ) e. NN )
116	113	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k - M ) e. CC )
117		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k - M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) = ( k - M ) )
118	116, 39, 117	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) = ( k - M ) )
119	118	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) ) = ( M + ( k - M ) ) )
120		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
121	120, 1	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
122	121	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. Z -> k e. CC )
123		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. CC /\ k e. CC ) -> ( M + ( k - M ) ) = k )
124	21, 122, 123	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M + ( k - M ) ) = k )
125	119, 124	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k = ( M + ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) ) ) )
127		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) )
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( M + ( x - 1 ) ) = ( M + ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) ) )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) = ( G ` ( M + ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) ) ) )
130	129	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( k - M ) + 1 ) -> ( ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) <-> ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
131	130	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k - M ) + 1 ) e. NN /\ ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( ( ( k - M ) + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> E. x e. NN ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) )
132	115, 126, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. NN ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) )
133		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` k ) e. _V
134	68	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` k ) e. _V -> ( ( G ` k ) e. ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) <-> E. x e. NN ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) )
135	133, 134	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` k ) e. ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) <-> E. x e. NN ( G ` k ) = ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) )
136	132, 135	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) )
137	136	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. Z ( G ` k ) e. ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) )
138		ffnfv 6388	. . . . . . . 8 |- ( G : Z --> ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) <-> ( G Fn Z /\ A. k e. Z ( G ` k ) e. ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) )
139	111, 137, 138	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : Z --> ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) )
140		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( G : Z --> ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) -> ran G C_ ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) )
141	139, 140	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran G C_ ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) )
142	141	sscond 3747	. . . . 5 |- ( ph -> ( W \ ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) C_ ( W \ ran G ) )
143	142	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( W \ ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) ) -> n e. ( W \ ran G ) )
144		isercoll2.0	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( W \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
145	143, 144	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( W \ ran ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
146		isercoll2.f	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( F ` n ) e. CC )
147		isercoll2.h	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
148	147	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. Z ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
149	148	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A. k e. Z ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
150		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = ( M + ( j - 1 ) ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( M + ( j - 1 ) ) ) )
151	77	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( k = ( M + ( j - 1 ) ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) ) )
152	150, 151	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( k = ( M + ( j - 1 ) ) -> ( ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( H ` ( M + ( j - 1 ) ) ) = ( F ` ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) ) ) )
153	152	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( ( M + ( j - 1 ) ) e. Z -> ( A. k e. Z ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( H ` ( M + ( j - 1 ) ) ) = ( F ` ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) ) ) )
154	73, 149, 153	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( H ` ( M + ( j - 1 ) ) ) = ( F ` ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) ) )
155	96	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = j -> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) = ( H ` ( M + ( j - 1 ) ) ) )
156		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( H ` ( M + ( j - 1 ) ) ) e. _V
157	155, 33, 156	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` j ) = ( H ` ( M + ( j - 1 ) ) ) )
158	157	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` j ) = ( H ` ( M + ( j - 1 ) ) ) )
159	100	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` ( ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` j ) ) = ( F ` ( G ` ( M + ( j - 1 ) ) ) ) )
160	154, 158, 159	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` j ) = ( F ` ( ( x e. NN |-> ( G ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ` j ) ) )
161	57, 58, 69, 109, 145, 146, 160	isercoll 14398	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( x e. NN |-> ( H ` ( M + ( x - 1 ) ) ) ) ) ~~> A <-> seq N ( + , F ) ~~> A ) )
162	56, 161	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( seq M ( + , H ) ~~> A <-> seq N ( + , F ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-hash 13118  df-shft 13807  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  iserodd  15540  stirlinglem5  40295