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Theorem lighneallem4a 41525
Description: Lemma 1 for lighneallem4 41527. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4a |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ S = ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) -> 2 <_ S )
Proof of Theorem lighneallem4a
StepHypRef Expression
1 2re 11090 . . . . . . . 8 |- 2 e. RR
21a1i 11 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. RR )
3 eluzelre 11698 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
4 peano2re 10209 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
53, 4syl 17 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + 1 ) e. RR )
62, 5remulcld 10070 . . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. ( A + 1 ) ) e. RR )
76adantr 481 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 x. ( A + 1 ) ) e. RR )
8 eluzge2nn0 11727 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN0 )
98adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> A e. NN0 )
10 eluzge3nn 11730 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. NN )
1110nnnn0d 11351 . . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. NN0 )
1211adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> M e. NN0 )
139, 12nn0expcld 13031 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A ^ M ) e. NN0 )
1413nn0red 11352 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
15 peano2re 10209 . . . . . 6 |- ( ( A ^ M ) e. RR -> ( ( A ^ M ) + 1 ) e. RR )
1614, 15syl 17 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( A ^ M ) + 1 ) e. RR )
172, 3remulcld 10070 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
182, 17remulcld 10070 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. ( 2 x. A ) ) e. RR )
1918adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. A ) ) e. RR )
20 1red 10055 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
21 eluz2nn 11726 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
2221nnge1d 11063 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ A )
2320, 3, 3, 22leadd2dd 10642 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + 1 ) <_ ( A + A ) )
24 eluzelcn 11699 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. CC )
25242timesd 11275 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
2623, 25breqtrrd 4681 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + 1 ) <_ ( 2 x. A ) )
2726adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A + 1 ) <_ ( 2 x. A ) )
28 2pos 11112 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
291, 28pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
315, 17, 303jca 1242 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A + 1 ) e. RR /\ ( 2 x. A ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) )
3231adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( A + 1 ) e. RR /\ ( 2 x. A ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) )
33 lemul2 10876 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A + 1 ) e. RR /\ ( 2 x. A ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( A + 1 ) <_ ( 2 x. A ) <-> ( 2 x. ( A + 1 ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. A ) ) ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( A + 1 ) <_ ( 2 x. A ) <-> ( 2 x. ( A + 1 ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. A ) ) ) )
3527, 34mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 x. ( A + 1 ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. A ) ) )
36 2cn 11091 . . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
3736a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 2 e. CC )
3824adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> A e. CC )
3937, 37, 38mulassd 10063 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) ) )
40 sq2 12960 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
41 4re 11097 . . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. RR
4240, 41eqeltri 2697 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ^ 2 ) e. RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 ^ 2 ) e. RR )
44 nn0sqcl 12887 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN0 -> ( A ^ 2 ) e. NN0 )
458, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A ^ 2 ) e. NN0 )
4645nn0red 11352 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
48 nnm1nn0 11334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
4910, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( M - 1 ) e. NN0 )
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( M - 1 ) e. NN0 )
519, 50nn0expcld 13031 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A ^ ( M - 1 ) ) e. NN0 )
5251nn0red 11352 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A ^ ( M - 1 ) ) e. RR )
53 2nn0 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. NN0 )
552, 3, 543jca 1242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ 2 e. NN0 ) )
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ 2 e. NN0 ) )
57 0le2 11111 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 0 <_ 2 )
59 eluzle 11700 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ A )
6059adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 2 <_ A )
61 leexp1a 12919 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ 2 e. NN0 ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ A ) ) -> ( 2 ^ 2 ) <_ ( A ^ 2 ) )
6256, 58, 60, 61syl12anc 1324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 ^ 2 ) <_ ( A ^ 2 ) )
63 2p1e3 11151 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 1 ) = 3
64 eluzle 11700 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ M )
6563, 64syl5eqbr 4688 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 + 1 ) <_ M )
66 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. RR )
67 eluzelre 11698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. RR )
68 leaddsub 10504 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 2 + 1 ) <_ M <-> 2 <_ ( M - 1 ) ) )
691, 66, 67, 68mp3an2i 1429 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 2 + 1 ) <_ M <-> 2 <_ ( M - 1 ) ) )
7065, 69mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 <_ ( M - 1 ) )
7170adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 2 <_ ( M - 1 ) )
723adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> A e. RR )
73 2z 11409 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 2 e. ZZ )
75 eluzelz 11697 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. ZZ )
76 peano2zm 11420 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( M - 1 ) e. ZZ )
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( M - 1 ) e. ZZ )
79 eluz2gt1 11760 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < A )
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 1 < A )
8172, 74, 78, 80leexp2d 13039 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 <_ ( M - 1 ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( A ^ ( M - 1 ) ) ) )
8271, 81mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( A ^ ( M - 1 ) ) )
8343, 47, 52, 62, 82letrd 10194 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 ^ 2 ) <_ ( A ^ ( M - 1 ) ) )
8436sqvali 12943 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
8584eqcomi 2631 . . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 2 ) = ( 2 ^ 2 )
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 x. 2 ) = ( 2 ^ 2 ) )
87 eluz2n0 11728 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A =/= 0 )
8887adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> A =/= 0 )
8975adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> M e. ZZ )
9038, 88, 89expm1d 13018 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A ^ ( M - 1 ) ) = ( ( A ^ M ) / A ) )
9190eqcomd 2628 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( A ^ M ) / A ) = ( A ^ ( M - 1 ) ) )
9283, 86, 913brtr4d 4685 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 x. 2 ) <_ ( ( A ^ M ) / A ) )
931, 1remulcli 10054 . . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 2 ) e. RR
9421nngt0d 11064 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < A )
953, 94jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
9695adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
97 lemuldiv 10903 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. 2 ) e. RR /\ ( A ^ M ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( ( 2 x. 2 ) x. A ) <_ ( A ^ M ) <-> ( 2 x. 2 ) <_ ( ( A ^ M ) / A ) ) )
9893, 14, 96, 97mp3an2i 1429 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( ( 2 x. 2 ) x. A ) <_ ( A ^ M ) <-> ( 2 x. 2 ) <_ ( ( A ^ M ) / A ) ) )
9992, 98mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. A ) <_ ( A ^ M ) )
10039, 99eqbrtrrd 4677 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. A ) ) <_ ( A ^ M ) )
1017, 19, 14, 35, 100letrd 10194 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 x. ( A + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) )
10214lep1d 10955 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( ( A ^ M ) + 1 ) )
1037, 14, 16, 101, 102letrd 10194 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 x. ( A + 1 ) ) <_ ( ( A ^ M ) + 1 ) )
104 nnnn0 11299 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
105 nn0p1gt0 11322 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN0 -> 0 < ( A + 1 ) )
10621, 104, 1053syl 18 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < ( A + 1 ) )
1075, 106jca 554 . . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A + 1 ) e. RR /\ 0 < ( A + 1 ) ) )
108107adantr 481 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( A + 1 ) e. RR /\ 0 < ( A + 1 ) ) )
109 lemuldiv 10903 . . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( A ^ M ) + 1 ) e. RR /\ ( ( A + 1 ) e. RR /\ 0 < ( A + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. ( A + 1 ) ) <_ ( ( A ^ M ) + 1 ) <-> 2 <_ ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) )
1101, 16, 108, 109mp3an2i 1429 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( 2 x. ( A + 1 ) ) <_ ( ( A ^ M ) + 1 ) <-> 2 <_ ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) )
111103, 110mpbid 222 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 2 <_ ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) )
1121113adant3 1081 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ S = ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) -> 2 <_ ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) )
113 breq2 4657 . . 3 |- ( S = ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) -> ( 2 <_ S <-> 2 <_ ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) )
1141133ad2ant3 1084 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ S = ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) -> ( 2 <_ S <-> 2 <_ ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) )
115112, 114mpbird 247 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ S = ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) -> 2 <_ S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861
This theorem is referenced by:  lighneallem4b  41526
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