Theorem lighneallem3 41524

Description: Lemma 3 for lighneal 41528. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem3	|- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( -. 2 || N /\ 2 || M ) /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) ) -> M = 1 )

Proof of Theorem lighneallem3

Dummy variables k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> ( 2 ^ N ) = ( 2 ^ 1 ) )
2		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
3		exp1 12866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
5	1, 4	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> ( 2 ^ N ) = 2 )
6	5	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
7		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 1 ) = 1
8	6, 7	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = 1 )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ N = 1 ) -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = 1 )
10	9	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ N = 1 ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) <-> 1 = ( P ^ M ) ) )
11		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
12		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
13		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN0 )
15	14	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
16		iddvdsexp 15005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. NN ) -> P || ( P ^ M ) )
17	15, 16	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> P || ( P ^ M ) )
18		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 = ( P ^ M ) -> ( P || 1 <-> P || ( P ^ M ) ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ 1 = ( P ^ M ) ) -> ( P || 1 <-> P || ( P ^ M ) ) )
20		dvds1 15041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN0 -> ( P || 1 <-> P = 1 ) )
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 1 <-> P = 1 ) )
22		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P = 1 -> ( P e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
23		1nprm 15392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. 1 e. Prime
24	23	pm2.21i 116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. Prime -> M = 1 )
25	22, 24	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P = 1 -> ( P e. Prime -> M = 1 ) )
26	11, 25	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P = 1 -> M = 1 ) )
27	21, 26	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 1 -> M = 1 ) )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ 1 = ( P ^ M ) ) -> ( P || 1 -> M = 1 ) )
29	19, 28	sylbird 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ 1 = ( P ^ M ) ) -> ( P || ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
30	29	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( 1 = ( P ^ M ) -> ( P || ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
31	17, 30	mpid 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( 1 = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ N = 1 ) -> ( 1 = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
33	10, 32	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ N = 1 ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
34	33	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( N = 1 -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
35	34	com23 86	. . . . 5 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( N = 1 -> M = 1 ) ) )
36	35	a1d 25	. . . 4 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( ( -. 2 || N /\ 2 || M ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( N = 1 -> M = 1 ) ) ) )
37	36	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( -. 2 || N /\ 2 || M ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( N = 1 -> M = 1 ) ) ) )
38	37	3imp 1256	. 2 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( -. 2 || N /\ 2 || M ) /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) ) -> ( N = 1 -> M = 1 ) )
39		neqne 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 1 -> N =/= 1 )
40	39	anim2i 593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
41		eluz2b3 11762	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
43		oddge22np1 15073	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. j e. NN ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( -. 2 || N <-> E. j e. NN ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N ) )
45	44	3ad2antl3 1225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N = 1 ) -> ( -. 2 || N <-> E. j e. NN ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N ) )
46		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N = ( ( 2 x. j ) + 1 ) -> ( 2 ^ N ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
47	46	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N = ( ( 2 x. j ) + 1 ) -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( ( 2 ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) - 1 ) )
48	47	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( ( 2 ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) - 1 ) )
49	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> 2 e. CC )
50		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. NN0
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. NN -> 2 e. NN0 )
52		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
53	51, 52	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
54	49, 53	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( 2 ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) x. 2 ) )
55	51, 53	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. NN -> ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) e. NN0 )
56	55	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) e. CC )
57	56, 49	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) ) )
58	54, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( 2 ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) ) )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( ( 2 ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) ) - 1 ) )
60		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) e. CC -> ( ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) )
61	56, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. NN -> ( ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) )
62	61	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) = ( ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) + 1 ) )
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) + 1 ) ) )
64		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) e. CC -> ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) e. CC )
65	56, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) e. CC )
66		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
67	49, 65, 66	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
68	63, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) )
70	49, 65	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) e. CC )
71		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. CC
72	2, 71	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 1 ) e. CC
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
74	70, 73, 66	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
75		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 1 ) = 2
76	75	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = ( 2 - 1 )
77	76, 7	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = 1 )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
80	74, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
81	59, 69, 80	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( ( 2 ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
82	81	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( 2 ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
83	48, 82	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N ) -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
84	83	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) <-> ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( P ^ M ) ) )
85	14	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> P e. NN0 )
86		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
87	86	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. NN0 )
88	85, 87	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( P ^ M ) e. NN0 )
89	88	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( P ^ M ) e. CC )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( P ^ M ) e. CC )
91		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
92	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) e. CC )
93	90, 91, 92	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( P ^ M ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) e. CC ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( P ^ M ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) e. CC ) )
95		subadd2 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P ^ M ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) e. CC ) -> ( ( ( P ^ M ) - 1 ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( P ^ M ) ) )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( P ^ M ) - 1 ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( P ^ M ) ) )
97		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. CC )
98	11, 12, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. CC )
99	98	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> P e. CC )
100	99, 87	pwm1geoser 14600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( P ^ M ) - 1 ) = ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( P ^ M ) - 1 ) = ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) )
102	101	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( P ^ M ) - 1 ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) <-> ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( P ^ M ) - 1 ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) <-> ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) ) )
104	99	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> P e. CC )
105		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> 1 e. CC )
106	104, 105	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( P - 1 ) e. CC )
107		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0 ... ( M - 1 ) ) e. Fin )
108	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> P e. NN0 )
109		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) -> k e. NN0 )
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
111	108, 110	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P ^ k ) e. NN0 )
112	111	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P ^ k ) e. ZZ )
113	107, 112	fsumzcl 14466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) e. ZZ )
114	113	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) e. CC )
115	114	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) e. CC )
116	106, 115	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) e. CC )
117	56	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) e. CC )
118	117, 105	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) e. CC )
119		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. RR+
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> 2 e. RR+ )
121	120	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
122		divmul2 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) e. CC /\ ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) ) )
123	116, 118, 121, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) ) )
124		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P - 1 ) e. CC /\ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) / 2 ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) )
125	106, 115, 121, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) / 2 ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) )
126	125	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) )
127	51	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> 2 e. ZZ )
128		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. NN
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. NN -> 2 e. NN )
130		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. NN -> j e. NN )
131	129, 130	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. NN )
132		iddvdsexp 15005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( 2 x. j ) e. NN ) -> 2 || ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) )
133	127, 131, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> 2 || ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) )
134	133	notnotd 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. NN -> -. -. 2 || ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) )
135	55	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN -> ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) e. ZZ )
136		oddm1even 15067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) <-> 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. NN -> ( -. 2 || ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) <-> 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) )
138	134, 137	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> -. 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) )
139	138	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> -. 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) )
140		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) -> ( 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) <-> 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) )
141	140	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) -> ( -. 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) <-> -. 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) )
142	141	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) -> ( -. 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) <-> -. 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) )
143		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( 0 ... ( M - 1 ) ) e. Fin )
144	112	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P ^ k ) e. ZZ )
145		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
146		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
147		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) -> P =/= 2 )
148	147	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) -> 2 =/= P )
149	146, 148	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= P )
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( k e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> 2 =/= P )
151	150	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( k e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> -. 2 = P )
152		2prm 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- 2 e. Prime
153	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( k e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P e. Prime )
154		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( k e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> k e. NN )
155		prmdvdsexpb 15428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( 2 e. Prime /\ P e. Prime /\ k e. NN ) -> ( 2 || ( P ^ k ) <-> 2 = P ) )
156	152, 153, 154, 155	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( k e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 || ( P ^ k ) <-> 2 = P ) )
157	151, 156	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( k e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> -. 2 || ( P ^ k ) )
158	157	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( k e. NN -> ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || ( P ^ k ) ) )
159		n2dvds1 15104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- -. 2 || 1
160		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( k = 0 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
161	98	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
162	160, 161	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( k = 0 /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P ^ k ) = 1 )
163	162	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( k = 0 /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 || ( P ^ k ) <-> 2 || 1 ) )
164	159, 163	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( k = 0 /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> -. 2 || ( P ^ k ) )
165	164	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( k = 0 -> ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || ( P ^ k ) ) )
166	158, 165	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( k e. NN \/ k = 0 ) -> ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || ( P ^ k ) ) )
167	145, 166	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k e. NN0 -> ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || ( P ^ k ) ) )
168	167, 109	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) -> -. 2 || ( P ^ k ) ) )
169	168	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) -> -. 2 || ( P ^ k ) ) )
170	169	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) -> -. 2 || ( P ^ k ) ) )
171	170	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> -. 2 || ( P ^ k ) )
172		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
173		hashfz0 13219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M - 1 ) e. NN0 -> ( # ` ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) = ( ( M - 1 ) + 1 ) )
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) = ( ( M - 1 ) + 1 ) )
175		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( M e. NN -> M e. CC )
176		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( M e. NN -> 1 e. CC )
177	175, 176	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( M e. NN -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
178	174, 177	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. NN -> M = ( # ` ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) )
179	178	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> M = ( # ` ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) )
180	179	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> M = ( # ` ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) )
181	180	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( 2 || M <-> 2 || ( # ` ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) ) )
182	181	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> 2 || ( # ` ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) )
183	143, 144, 171, 182	evensumodd 15112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> 2 || sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) )
184	183	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) \/ 2 || sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) )
185	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> 2 e. Prime )
186		oddn2prm 15517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || P )
187		oddm1d2 15084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
188	15, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
189	186, 188	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
190	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
191		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( 0 ... ( M - 1 ) ) e. Fin )
192	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> P e. NN0 )
193	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
194	192, 193	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P ^ k ) e. NN0 )
195	194	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P ^ k ) e. ZZ )
196	191, 195	fsumzcl 14466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) e. ZZ )
197	185, 190, 196	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( 2 e. Prime /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) e. ZZ ) )
198	197	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 e. Prime /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) e. ZZ ) )
199		euclemma 15425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 2 e. Prime /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) <-> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) \/ 2 || sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) ) )
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) <-> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) \/ 2 || sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) ) )
201	200	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) <-> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) \/ 2 || sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) ) )
202	184, 201	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) )
203	202	pm2.24d 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( -. 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) -> M = 1 ) )
204	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) -> ( -. 2 || ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) -> M = 1 ) )
205	142, 204	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) -> ( -. 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) -> M = 1 ) )
206	205	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) -> ( -. 2 || ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) -> M = 1 ) ) )
207	139, 206	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) -> M = 1 ) )
208	126, 207	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) -> M = 1 ) )
209	123, 208	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( P - 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( P ^ k ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) -> M = 1 ) )
210	103, 209	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( P ^ M ) - 1 ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) -> M = 1 ) )
211	96, 210	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) -> ( ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
212	211	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N ) -> ( ( ( 2 x. ( ( 2 ^ ( 2 x. j ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
213	84, 212	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) /\ 2 || M ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
214	213	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( 2 || M -> ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) ) )
215	214	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N -> ( 2 || M -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) ) )
216	215	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. j e. NN ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N -> ( 2 || M -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) ) )
217	216	com34 91	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. j e. NN ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( 2 || M -> M = 1 ) ) ) )
218	217	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N = 1 ) -> ( E. j e. NN ( ( 2 x. j ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( 2 || M -> M = 1 ) ) ) )
219	45, 218	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N = 1 ) -> ( -. 2 || N -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( 2 || M -> M = 1 ) ) ) )
220	219	com24 95	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N = 1 ) -> ( 2 || M -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( -. 2 || N -> M = 1 ) ) ) )
221	220	ex 450	. . . . 5 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( -. N = 1 -> ( 2 || M -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( -. 2 || N -> M = 1 ) ) ) ) )
222	221	com25 99	. . . 4 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( -. 2 || N -> ( 2 || M -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( -. N = 1 -> M = 1 ) ) ) ) )
223	222	impd 447	. . 3 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( -. 2 || N /\ 2 || M ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> ( -. N = 1 -> M = 1 ) ) ) )
224	223	3imp 1256	. 2 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( -. 2 || N /\ 2 || M ) /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) ) -> ( -. N = 1 -> M = 1 ) )
225	38, 224	pm2.61d 170	1 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( -. 2 || N /\ 2 || M ) /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) ) -> M = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  lighneal  41528