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Theorem lighneallem4b 41526
Description: Lemma 2 for lighneallem4 41527. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4b |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
Distinct variable groups:   A, k   k, M
Proof of Theorem lighneallem4b
StepHypRef Expression
1 2z 11409 . . 3 |- 2 e. ZZ
21a1i 11 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> 2 e. ZZ )
3 fzfid 12772 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 ... ( M - 1 ) ) e. Fin )
4 neg1z 11413 . . . . . . 7 |- -u 1 e. ZZ
5 elfznn0 12433 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) -> k e. NN0 )
6 zexpcl 12875 . . . . . . 7 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ k ) e. ZZ )
74, 5, 6sylancr 695 . . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ k ) e. ZZ )
87adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( -u 1 ^ k ) e. ZZ )
9 eluzge2nn0 11727 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN0 )
109adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. NN0 )
1110adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> A e. NN0 )
125adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
1311, 12nn0expcld 13031 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. NN0 )
1413nn0zd 11480 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. ZZ )
158, 14zmulcld 11488 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. ZZ )
163, 15fsumzcl 14466 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. ZZ )
17163adant3 1081 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. ZZ )
18 simp1 1061 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
19 3z 11410 . . . . 5 |- 3 e. ZZ
2019a1i 11 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> 3 e. ZZ )
21 eluzelz 11697 . . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. ZZ )
22213ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> M e. ZZ )
23 eluz2 11693 . . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 2 <_ M ) )
24 2re 11090 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> 2 e. RR )
26 zre 11381 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2725, 26leloed 10180 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( 2 <_ M <-> ( 2 < M \/ 2 = M ) ) )
28 zltp1le 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
291, 28mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
3029biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( 2 < M -> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
31 df-3 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 = ( 2 + 1 )
3231breq1i 4660 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 <_ M <-> ( 2 + 1 ) <_ M )
3330, 32syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> ( 2 < M -> 3 <_ M ) )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 2 || M -> ( M e. ZZ -> ( 2 < M -> 3 <_ M ) ) )
3534com13 88 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 < M -> ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) ) )
36 z2even 15106 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 || 2
37 breq2 4657 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 = M -> ( 2 || 2 <-> 2 || M ) )
3836, 37mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 = M -> 2 || M )
3938pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = M -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) )
4039a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = M -> ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) ) )
4135, 40jaoi 394 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 < M \/ 2 = M ) -> ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) ) )
4241com12 32 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 < M \/ 2 = M ) -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) ) )
4327, 42sylbid 230 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( 2 <_ M -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) ) )
4443imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 <_ M ) -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) )
45443adant1 1079 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 2 <_ M ) -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) )
4623, 45sylbi 207 . . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || M -> 3 <_ M ) )
4746imp 445 . . . . 5 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> 3 <_ M )
48473adant1 1079 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> 3 <_ M )
49 eluz2 11693 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 3 <_ M ) )
5020, 22, 48, 49syl3anbrc 1246 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> M e. ( ZZ>= ` 3 ) )
51 eluzelcn 11699 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. CC )
52513ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> A e. CC )
53 eluz2nn 11726 . . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN )
54533ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> M e. NN )
55 simp3 1063 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> -. 2 || M )
5652, 54, 55oddpwp1fsum 15115 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> ( ( A ^ M ) + 1 ) = ( ( A + 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
5756eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> ( ( A + 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( A ^ M ) + 1 ) )
58 eluzge2nn0 11727 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN0 )
5958adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> M e. NN0 )
6010, 59nn0expcld 13031 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A ^ M ) e. NN0 )
6160nn0cnd 11353 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A ^ M ) e. CC )
62 peano2cn 10208 . . . . . . . 8 |- ( ( A ^ M ) e. CC -> ( ( A ^ M ) + 1 ) e. CC )
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A ^ M ) + 1 ) e. CC )
64633adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> ( ( A ^ M ) + 1 ) e. CC )
6517zcnd 11483 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
66 eluz2nn 11726 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
6766peano2nnd 11037 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + 1 ) e. NN )
6867nncnd 11036 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + 1 ) e. CC )
6967nnne0d 11065 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + 1 ) =/= 0 )
7068, 69jca 554 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A + 1 ) e. CC /\ ( A + 1 ) =/= 0 ) )
71703ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> ( ( A + 1 ) e. CC /\ ( A + 1 ) =/= 0 ) )
72 divmul 10688 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ M ) + 1 ) e. CC /\ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC /\ ( ( A + 1 ) e. CC /\ ( A + 1 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) <-> ( ( A + 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( A ^ M ) + 1 ) ) )
7364, 65, 71, 72syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> ( ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) <-> ( ( A + 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( A ^ M ) + 1 ) ) )
7457, 73mpbird 247 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) )
7574eqcomd 2628 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) = ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) )
76 lighneallem4a 41525 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) = ( ( ( A ^ M ) + 1 ) / ( A + 1 ) ) ) -> 2 <_ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) )
7718, 50, 75, 76syl3anc 1326 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> 2 <_ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) )
78 eluz2 11693 . 2 |- ( sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. ZZ /\ 2 <_ sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
792, 17, 77, 78syl3anbrc 1246 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ -. 2 || M ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984
This theorem is referenced by:  lighneallem4  41527
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