Theorem dvcnvlem 23739

Description: Lemma for dvcnvre 23782. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnv.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
dvcnv.k	|- K = ( J ↾t S )
dvcnv.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvcnv.y	|- ( ph -> Y e. K )
dvcnv.f	|- ( ph -> F : X -1-1-onto-> Y )
dvcnv.i	|- ( ph -> `' F e. ( Y -cn-> X ) )
dvcnv.d	|- ( ph -> dom ( S _D F ) = X )
dvcnv.z	|- ( ph -> -. 0 e. ran ( S _D F ) )
dvcnv.c	|- ( ph -> C e. X )

Assertion

Ref	Expression
dvcnvlem	|- ( ph -> ( F ` C ) ( S _D `' F ) ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) )

Proof of Theorem dvcnvlem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcnv.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X -1-1-onto-> Y )
2		f1of 6137	. . . . 5 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X --> Y )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> Y )
4		dvcnv.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
5	3, 4	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( F ` C ) e. Y )
6		dvcnv.k	. . . . . 6 |- K = ( J ↾t S )
7		dvcnv.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
8	7	cnfldtopon 22586	. . . . . . 7 |- J e. (TopOn ` CC )
9		dvcnv.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
10		recnprss 23668	. . . . . . . 8 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
12		resttopon 20965	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
13	8, 11, 12	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
14	6, 13	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` S ) )
15		topontop 20718	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` S ) -> K e. Top )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
17		dvcnv.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. K )
18		isopn3i 20886	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ Y e. K ) -> ( ( int ` K ) ` Y ) = Y )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( int ` K ) ` Y ) = Y )
20	5, 19	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( int ` K ) ` Y ) )
21		f1ocnv 6149	. . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
22		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
23	1, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : Y --> X )
24		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) -> z e. Y )
25		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( `' F ` z ) e. X )
26	23, 24, 25	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( `' F ` z ) e. X )
27	26	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) /\ ( `' F ` z ) =/= C ) -> ( ( `' F ` z ) e. X /\ ( `' F ` z ) =/= C ) )
28		eldifsn 4317	. . . . . 6 |- ( ( `' F ` z ) e. ( X \ { C } ) <-> ( ( `' F ` z ) e. X /\ ( `' F ` z ) =/= C ) )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) /\ ( `' F ` z ) =/= C ) -> ( `' F ` z ) e. ( X \ { C } ) )
30	29	anasss 679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) /\ ( `' F ` z ) =/= C ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( X \ { C } ) )
31		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { C } ) -> y e. X )
32		dvcnv.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( S _D F ) = X )
33		dvbsss 23666	. . . . . . . . . 10 |- dom ( S _D F ) C_ S
34	32, 33	syl6eqssr 3656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X C_ S )
35	34, 11	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X C_ CC )
36	35	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> y e. CC )
37	31, 36	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> y e. CC )
38	34, 4	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. S )
39	11, 38	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
40	39	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> C e. CC )
41	37, 40	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( y - C ) e. CC )
42		toponss 20731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` S ) /\ Y e. K ) -> Y C_ S )
43	14, 17, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y C_ S )
44	43, 11	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ CC )
45	3, 44	fssd 6057	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X --> CC )
46		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 |- ( ( F : X --> CC /\ y e. X ) -> ( F ` y ) e. CC )
47	45, 31, 46	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( F ` y ) e. CC )
48	44, 5	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
49	48	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
50	47, 49	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) e. CC )
51		eldifsni 4320	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { C } ) -> y =/= C )
52	51	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> y =/= C )
53	47, 49	subeq0ad 10402	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) = 0 <-> ( F ` y ) = ( F ` C ) ) )
54		f1of1 6136	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -1-1-> Y )
55	1, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : X -1-1-> Y )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> F : X -1-1-> Y )
57	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> y e. X )
58	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> C e. X )
59		f1fveq 6519	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( y e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` C ) <-> y = C ) )
60	56, 57, 58, 59	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` C ) <-> y = C ) )
61	53, 60	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) = 0 <-> y = C ) )
62	61	necon3bid 2838	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) =/= 0 <-> y =/= C ) )
63	52, 62	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) =/= 0 )
64	41, 50, 63	divcld 10801	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( y - C ) / ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) e. CC )
65		limcresi 23649	. . . . . 6 |- ( `' F lim CC ( F ` C ) ) C_ ( ( `' F |` ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) lim CC ( F ` C ) )
66	23	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' F = ( z e. Y |-> ( `' F ` z ) ) )
67	66	reseq1d 5395	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' F |` ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) = ( ( z e. Y |-> ( `' F ` z ) ) |` ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) )
68		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( Y \ { ( F ` C ) } ) C_ Y
69		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y \ { ( F ` C ) } ) C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( `' F ` z ) ) |` ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) = ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( `' F ` z ) ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. Y |-> ( `' F ` z ) ) |` ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) = ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( `' F ` z ) )
71	67, 70	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F |` ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) = ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( `' F ` z ) ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( `' F |` ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) lim CC ( F ` C ) ) = ( ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( `' F ` z ) ) lim CC ( F ` C ) ) )
73	65, 72	syl5sseq 3653	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F lim CC ( F ` C ) ) C_ ( ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( `' F ` z ) ) lim CC ( F ` C ) ) )
74		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . 7 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ C e. X ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )
75	1, 4, 74	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )
76		dvcnv.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' F e. ( Y -cn-> X ) )
77	76, 5	cnlimci 23653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' F ` ( F ` C ) ) e. ( `' F lim CC ( F ` C ) ) )
78	75, 77	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ( `' F lim CC ( F ` C ) ) )
79	73, 78	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( `' F ` z ) ) lim CC ( F ` C ) ) )
80	45, 35, 4	dvlem 23660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) e. CC )
81	37, 40, 52	subne0d 10401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( y - C ) =/= 0 )
82	50, 41, 63, 81	divne0d 10817	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) =/= 0 )
83		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) e. CC /\ ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) =/= 0 ) )
84	80, 82, 83	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
85		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) = ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) )
86	84, 85	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) : ( X \ { C } ) --> ( CC \ { 0 } ) )
87		difss 3737	. . . . . . 7 |- ( CC \ { 0 } ) C_ CC
88	87	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
89		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) = ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) )
90	4, 32	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. dom ( S _D F ) )
91		dvfg 23670	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. { RR , CC } -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
92		ffun 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC -> Fun ( S _D F ) )
93		funfvbrb 6330	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun ( S _D F ) -> ( C e. dom ( S _D F ) <-> C ( S _D F ) ( ( S _D F ) ` C ) ) )
94	9, 91, 92, 93	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. dom ( S _D F ) <-> C ( S _D F ) ( ( S _D F ) ` C ) ) )
95	90, 94	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C ( S _D F ) ( ( S _D F ) ` C ) )
96	6, 7, 85, 11, 45, 34	eldv 23662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) ( ( S _D F ) ` C ) <-> ( C e. ( ( int ` K ) ` X ) /\ ( ( S _D F ) ` C ) e. ( ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
97	95, 96	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` K ) ` X ) /\ ( ( S _D F ) ` C ) e. ( ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) lim CC C ) ) )
98	97	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S _D F ) ` C ) e. ( ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) lim CC C ) )
99		resttopon 20965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ ( CC \ { 0 } ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) ) )
100	8, 87, 99	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) )
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) ) )
102	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` CC ) )
103		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
104	101, 102, 103	cnmptc 21465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> 1 ) e. ( ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) Cn J ) )
105	101	cnmptid 21464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> x ) e. ( ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) Cn ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) )
106	7, 89	divcn 22671	. . . . . . . . 9 |- / e. ( ( J tX ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) Cn J )
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> / e. ( ( J tX ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) ) Cn J ) )
108	101, 104, 105, 107	cnmpt12f 21469	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) e. ( ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) Cn J ) )
109	9, 91	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
110	32	feq2d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( S _D F ) : X --> CC ) )
111	109, 110	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S _D F ) : X --> CC )
112	111, 4	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S _D F ) ` C ) e. CC )
113		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
114	109, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
115		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ C e. dom ( S _D F ) ) -> ( ( S _D F ) ` C ) e. ran ( S _D F ) )
116	114, 90, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S _D F ) ` C ) e. ran ( S _D F ) )
117		dvcnv.z	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( S _D F ) )
118		nelne2 2891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S _D F ) ` C ) e. ran ( S _D F ) /\ -. 0 e. ran ( S _D F ) ) -> ( ( S _D F ) ` C ) =/= 0 )
119	116, 117, 118	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S _D F ) ` C ) =/= 0 )
120		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S _D F ) ` C ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( ( S _D F ) ` C ) e. CC /\ ( ( S _D F ) ` C ) =/= 0 ) )
121	112, 119, 120	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S _D F ) ` C ) e. ( CC \ { 0 } ) )
122	100	toponunii 20721	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) = U. ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) )
123	122	cncnpi 21082	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) e. ( ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) Cn J ) /\ ( ( S _D F ) ` C ) e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) e. ( ( ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) CnP J ) ` ( ( S _D F ) ` C ) ) )
124	108, 121, 123	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) e. ( ( ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) CnP J ) ` ( ( S _D F ) ` C ) ) )
125	86, 88, 7, 89, 98, 124	limccnp 23655	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) ` ( ( S _D F ) ` C ) ) e. ( ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) o. ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) ) lim CC C ) )
126		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( S _D F ) ` C ) -> ( 1 / x ) = ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) )
127		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) = ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) )
128		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) e. _V
129	126, 127, 128	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( ( ( S _D F ) ` C ) e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) ` ( ( S _D F ) ` C ) ) = ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) )
130	121, 129	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) ` ( ( S _D F ) ` C ) ) = ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) )
131		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) = ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) )
132		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) = ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) )
133		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) -> ( 1 / x ) = ( 1 / ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) )
134	84, 131, 132, 133	fmptco 6396	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) o. ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( 1 / ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) ) )
135	50, 41, 63, 81	recdivd 10818	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { C } ) ) -> ( 1 / ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) = ( ( y - C ) / ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) )
136	135	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( 1 / ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( y - C ) / ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) ) )
137	134, 136	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) o. ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( y - C ) / ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) ) )
138	137	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / x ) ) o. ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) / ( y - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( y - C ) / ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
139	125, 130, 138	3eltr3d 2715	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) e. ( ( y e. ( X \ { C } ) |-> ( ( y - C ) / ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
140		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( y - C ) = ( ( `' F ` z ) - C ) )
141		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' F ` z ) ) )
142	141	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) = ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) )
143	140, 142	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( y - C ) / ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) = ( ( ( `' F ` z ) - C ) / ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) ) )
144		eldifsni 4320	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) -> z =/= ( F ` C ) )
145	144	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> z =/= ( F ` C ) )
146	145	necomd 2849	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( F ` C ) =/= z )
147	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
148	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> C e. X )
149	24	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> z e. Y )
150		f1ocnvfvb 6535	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ C e. X /\ z e. Y ) -> ( ( F ` C ) = z <-> ( `' F ` z ) = C ) )
151	147, 148, 149, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( ( F ` C ) = z <-> ( `' F ` z ) = C ) )
152	151	necon3abid 2830	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( ( F ` C ) =/= z <-> -. ( `' F ` z ) = C ) )
153	146, 152	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> -. ( `' F ` z ) = C )
154	153	pm2.21d 118	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( ( `' F ` z ) = C -> ( ( ( `' F ` z ) - C ) / ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) ) = ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) ) )
155	154	impr 649	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) /\ ( `' F ` z ) = C ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) - C ) / ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) ) = ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) )
156	30, 64, 79, 139, 143, 155	limcco 23657	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) e. ( ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - C ) / ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) ) ) lim CC ( F ` C ) ) )
157	75	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
158	157	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> C = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
159	158	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( ( `' F ` z ) - C ) = ( ( `' F ` z ) - ( `' F ` ( F ` C ) ) ) )
160		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ z e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
161	1, 24, 160	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
162	161	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) = ( z - ( F ` C ) ) )
163	159, 162	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) - C ) / ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) ) = ( ( ( `' F ` z ) - ( `' F ` ( F ` C ) ) ) / ( z - ( F ` C ) ) ) )
164	163	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - C ) / ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) ) ) = ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - ( `' F ` ( F ` C ) ) ) / ( z - ( F ` C ) ) ) ) )
165	164	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - C ) / ( ( F ` ( `' F ` z ) ) - ( F ` C ) ) ) ) lim CC ( F ` C ) ) = ( ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - ( `' F ` ( F ` C ) ) ) / ( z - ( F ` C ) ) ) ) lim CC ( F ` C ) ) )
166	156, 165	eleqtrd 2703	. 2 |- ( ph -> ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) e. ( ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - ( `' F ` ( F ` C ) ) ) / ( z - ( F ` C ) ) ) ) lim CC ( F ` C ) ) )
167		eqid 2622	. . 3 |- ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - ( `' F ` ( F ` C ) ) ) / ( z - ( F ` C ) ) ) ) = ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - ( `' F ` ( F ` C ) ) ) / ( z - ( F ` C ) ) ) )
168	23, 35	fssd 6057	. . 3 |- ( ph -> `' F : Y --> CC )
169	6, 7, 167, 11, 168, 43	eldv 23662	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ( S _D `' F ) ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) <-> ( ( F ` C ) e. ( ( int ` K ) ` Y ) /\ ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) e. ( ( z e. ( Y \ { ( F ` C ) } ) |-> ( ( ( `' F ` z ) - ( `' F ` ( F ` C ) ) ) / ( z - ( F ` C ) ) ) ) lim CC ( F ` C ) ) ) ) )
170	20, 166, 169	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( F ` C ) ( S _D `' F ) ( 1 / ( ( S _D F ) ` C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   - cmin 10266   / cdiv 10684   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvcnv  23740