Theorem lmclim2 33554

Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lmclim2.3	|- ( ph -> F : NN --> X )
lmclim2.4	|- J = ( MetOpen ` D )
lmclim2.5	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) D Y ) )
lmclim2.6	|- ( ph -> Y e. X )

Assertion

Ref	Expression
lmclim2	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) Y <-> G ~~> 0 ) )

Distinct variable groups:   x, D   x, F   x, G   x, J   x, X   ph, x   x, Y

Proof of Theorem lmclim2

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmclim2.4	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2		lmclim2.2	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
3		metxmet 22139	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
5		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6		1zzd 11408	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
7		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
8		lmclim2.3	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> X )
9	1, 4, 5, 6, 7, 8	lmmbrf 23060	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) Y <-> ( Y e. X /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) )
10		lmclim2.5	. . . . . 6 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) D Y ) )
11		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
12	11	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) D Y ) ) e. _V
13	10, 12	eqeltri 2697	. . . . 5 |- G e. _V
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
15		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
16	15	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) D Y ) = ( ( F ` k ) D Y ) )
17		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( F ` k ) D Y ) e. _V
18	16, 10, 17	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) D Y ) )
19	18	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) D Y ) )
20	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
21	8	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. X )
22		lmclim2.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. X )
23	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> Y e. X )
24		metcl 22137	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ Y e. X ) -> ( ( F ` k ) D Y ) e. RR )
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) D Y ) e. RR )
26	25	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) D Y ) e. CC )
27	5, 6, 14, 19, 26	clim0c 14238	. . 3 |- ( ph -> ( G ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x ) )
28		eluznn 11758	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
29		metge0 22150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ Y e. X ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) D Y ) )
30	20, 21, 23, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) D Y ) )
31	25, 30	absidd 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) = ( ( F ` k ) D Y ) )
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D Y ) < x ) )
33	28, 32	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D Y ) < x ) )
34	33	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D Y ) < x ) )
35	34	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) )
36	35	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) )
37	36	ralbidv 2986	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) D Y ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) )
38	22	biantrurd 529	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x <-> ( Y e. X /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) ) )
39	27, 37, 38	3bitrrd 295	. 2 |- ( ph -> ( ( Y e. X /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D Y ) < x ) <-> G ~~> 0 ) )
40	9, 39	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) Y <-> G ~~> 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   ~~> tclm 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033

This theorem is referenced by: (None)