Theorem mbfeqalem 23409

Description: Lemma for mbfeqa 23410. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	|- ( ph -> A C_ RR )
mbfeqa.2	|- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
mbfeqa.3	|- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = D )
mbfeqalem.4	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. RR )
mbfeqalem.5	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> D e. RR )

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem	|- ( ph -> ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn <-> ( x e. B |-> D ) e. MblFn ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)

Proof of Theorem mbfeqalem

Dummy variables z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4046	. . . . 5 |- ( ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) u. ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) = ( `' ( x e. B |-> D ) " y )
2		incom 3805	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) = ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) )
3		dfin4 3867	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) = ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) )
4	2, 3	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) = ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) )
5		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol -> ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol )
6		symdif2 3852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) u. ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) = { z | -. ( z e. ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) <-> z e. ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) }
7		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( B \ A ) <-> ( z e. B /\ -. z e. A ) )
8		mbfeqa.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = D )
9		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( B \ A ) -> x e. B )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> x e. B )
11		mbfeqalem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. RR )
12	9, 11	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C e. RR )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. B |-> C ) = ( x e. B |-> C )
14	13	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. B /\ C e. RR ) -> ( ( x e. B |-> C ) ` x ) = C )
15	10, 12, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( ( x e. B |-> C ) ` x ) = C )
16		mbfeqalem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> D e. RR )
17	9, 16	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> D e. RR )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. B |-> D ) = ( x e. B |-> D )
19	18	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. B /\ D e. RR ) -> ( ( x e. B |-> D ) ` x ) = D )
20	10, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( ( x e. B |-> D ) ` x ) = D )
21	8, 15, 20	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( ( x e. B |-> C ) ` x ) = ( ( x e. B |-> D ) ` x ) )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A. x e. ( B \ A ) ( ( x e. B |-> C ) ` x ) = ( ( x e. B |-> D ) ` x ) )
23		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ z ( ( x e. B |-> C ) ` x ) = ( ( x e. B |-> D ) ` x )
24		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ x ( ( x e. B |-> C ) ` z )
25		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ x ( ( x e. B |-> D ) ` z )
26	24, 25	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ x ( ( x e. B |-> C ) ` z ) = ( ( x e. B |-> D ) ` z )
27		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = z -> ( ( x e. B |-> C ) ` x ) = ( ( x e. B |-> C ) ` z ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = z -> ( ( x e. B |-> D ) ` x ) = ( ( x e. B |-> D ) ` z ) )
29	27, 28	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( ( ( x e. B |-> C ) ` x ) = ( ( x e. B |-> D ) ` x ) <-> ( ( x e. B |-> C ) ` z ) = ( ( x e. B |-> D ) ` z ) ) )
30	23, 26, 29	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. x e. ( B \ A ) ( ( x e. B |-> C ) ` x ) = ( ( x e. B |-> D ) ` x ) <-> A. z e. ( B \ A ) ( ( x e. B |-> C ) ` z ) = ( ( x e. B |-> D ) ` z ) )
31	22, 30	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. z e. ( B \ A ) ( ( x e. B |-> C ) ` z ) = ( ( x e. B |-> D ) ` z ) )
32	31	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( B \ A ) ) -> ( ( x e. B |-> C ) ` z ) = ( ( x e. B |-> D ) ` z ) )
33	32	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( B \ A ) ) -> ( ( ( x e. B |-> C ) ` z ) e. y <-> ( ( x e. B |-> D ) ` z ) e. y ) )
34	7, 33	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ -. z e. A ) ) -> ( ( ( x e. B |-> C ) ` z ) e. y <-> ( ( x e. B |-> D ) ` z ) e. y ) )
35	34	anass1rs 849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. A ) /\ z e. B ) -> ( ( ( x e. B |-> C ) ` z ) e. y <-> ( ( x e. B |-> D ) ` z ) e. y ) )
36	35	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. z e. A ) -> ( ( z e. B /\ ( ( x e. B |-> C ) ` z ) e. y ) <-> ( z e. B /\ ( ( x e. B |-> D ) ` z ) e. y ) ) )
37	11, 13	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( x e. B |-> C ) : B --> RR )
38		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. B |-> C ) : B --> RR -> ( x e. B |-> C ) Fn B )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( x e. B |-> C ) Fn B )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. z e. A ) -> ( x e. B |-> C ) Fn B )
41		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. B |-> C ) Fn B -> ( z e. ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) <-> ( z e. B /\ ( ( x e. B |-> C ) ` z ) e. y ) ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. z e. A ) -> ( z e. ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) <-> ( z e. B /\ ( ( x e. B |-> C ) ` z ) e. y ) ) )
43	16, 18	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( x e. B |-> D ) : B --> RR )
44		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. B |-> D ) : B --> RR -> ( x e. B |-> D ) Fn B )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( x e. B |-> D ) Fn B )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. z e. A ) -> ( x e. B |-> D ) Fn B )
47		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. B |-> D ) Fn B -> ( z e. ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) <-> ( z e. B /\ ( ( x e. B |-> D ) ` z ) e. y ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. z e. A ) -> ( z e. ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) <-> ( z e. B /\ ( ( x e. B |-> D ) ` z ) e. y ) ) )
49	36, 42, 48	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. z e. A ) -> ( z e. ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) <-> z e. ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) )
50	49	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -. z e. A -> ( z e. ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) <-> z e. ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) )
51	50	con1d 139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -. ( z e. ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) <-> z e. ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) -> z e. A ) )
52	51	abssdv 3676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { z | -. ( z e. ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) <-> z e. ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) } C_ A )
53	6, 52	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) u. ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) C_ A )
54	53	unssad 3790	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) C_ A )
55		mbfeqa.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ RR )
56	54, 55	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) C_ RR )
57		mbfeqa.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
58		ovolssnul 23255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) C_ A /\ A C_ RR /\ ( vol* ` A ) = 0 ) -> ( vol* ` ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) = 0 )
59	54, 55, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol* ` ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) = 0 )
60		nulmbl 23303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) = 0 ) -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) e. dom vol )
61	56, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) e. dom vol )
62		difmbl 23311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol /\ ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) e. dom vol )
63	5, 61, 62	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) e. dom vol )
64	4, 63	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) e. dom vol )
65	53	unssbd 3791	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) C_ A )
66	65, 55	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) C_ RR )
67		ovolssnul 23255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) C_ A /\ A C_ RR /\ ( vol* ` A ) = 0 ) -> ( vol* ` ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) = 0 )
68	65, 55, 57, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) = 0 )
69		nulmbl 23303	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) = 0 ) -> ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) e. dom vol )
70	66, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) e. dom vol )
71	70	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) e. dom vol )
72		unmbl 23305	. . . . . 6 |- ( ( ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) e. dom vol /\ ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) e. dom vol ) -> ( ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) u. ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) e. dom vol )
73	64, 71, 72	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) u. ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) e. dom vol )
74	1, 73	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol ) -> ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol )
75		inundif 4046	. . . . 5 |- ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) u. ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) = ( `' ( x e. B |-> C ) " y )
76		incom 3805	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) = ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) )
77		dfin4 3867	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) = ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) )
78	76, 77	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) = ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) )
79		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol -> ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol )
80		difmbl 23311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol /\ ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) e. dom vol )
81	79, 70, 80	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) ) ) e. dom vol )
82	78, 81	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) e. dom vol )
83	61	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) e. dom vol )
84		unmbl 23305	. . . . . 6 |- ( ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) e. dom vol /\ ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) e. dom vol ) -> ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) u. ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) e. dom vol )
85	82, 83, 84	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) i^i ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) u. ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) \ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) ) ) e. dom vol )
86	75, 85	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) -> ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol )
87	74, 86	impbida 877	. . 3 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol <-> ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) )
88	87	ralbidv 2986	. 2 |- ( ph -> ( A. y e. ran (,) ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol <-> A. y e. ran (,) ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) )
89		ismbf 23397	. . 3 |- ( ( x e. B |-> C ) : B --> RR -> ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn <-> A. y e. ran (,) ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol ) )
90	37, 89	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn <-> A. y e. ran (,) ( `' ( x e. B |-> C ) " y ) e. dom vol ) )
91		ismbf 23397	. . 3 |- ( ( x e. B |-> D ) : B --> RR -> ( ( x e. B |-> D ) e. MblFn <-> A. y e. ran (,) ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) )
92	43, 91	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> D ) e. MblFn <-> A. y e. ran (,) ( `' ( x e. B |-> D ) " y ) e. dom vol ) )
93	88, 90, 92	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn <-> ( x e. B |-> D ) e. MblFn ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   (,)cioo 12175   vol*covol 23231   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfeqa  23410