Theorem divcn 22671

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
divcn.k	|- K = ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) )

Assertion

Ref	Expression
divcn	|- / e. ( ( J tX K ) Cn J )

Proof of Theorem divcn

Dummy variables u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-div 10685	. . 3 |- / = ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( iota_ z e. CC ( y x. z ) = x ) )
2		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( y e. CC /\ y =/= 0 ) )
3		divval 10687	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( x / y ) = ( iota_ z e. CC ( y x. z ) = x ) )
4		divrec 10701	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( x / y ) = ( x x. ( 1 / y ) ) )
5	3, 4	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( iota_ z e. CC ( y x. z ) = x ) = ( x x. ( 1 / y ) ) )
6	5	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ ( y e. CC /\ y =/= 0 ) ) -> ( iota_ z e. CC ( y x. z ) = x ) = ( x x. ( 1 / y ) ) )
7	2, 6	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( iota_ z e. CC ( y x. z ) = x ) = ( x x. ( 1 / y ) ) )
8	7	mpt2eq3ia 6720	. . 3 |- ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( iota_ z e. CC ( y x. z ) = x ) ) = ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( x x. ( 1 / y ) ) )
9	1, 8	eqtri 2644	. 2 |- / = ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( x x. ( 1 / y ) ) )
10		addcn.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
11	10	cnfldtopon 22586	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` CC )
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> J e. (TopOn ` CC ) )
13		divcn.k	. . . . 5 |- K = ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) )
14		difss 3737	. . . . . 6 |- ( CC \ { 0 } ) C_ CC
15		resttopon 20965	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ ( CC \ { 0 } ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) ) )
16	12, 14, 15	sylancl 694	. . . . 5 |- ( T. -> ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) ) )
17	13, 16	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( T. -> K e. (TopOn ` ( CC \ { 0 } ) ) )
18	12, 17	cnmpt1st 21471	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
19	12, 17	cnmpt2nd 21472	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) )
21		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( z e. CC /\ z =/= 0 ) )
22		reccl 10692	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ z =/= 0 ) -> ( 1 / z ) e. CC )
23	21, 22	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( 1 / z ) e. CC )
24	20, 23	fmpti 6383	. . . . . . 7 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) : ( CC \ { 0 } ) --> CC
25		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 1 <_ ( ( abs ` x ) x. y ) , 1 , ( ( abs ` x ) x. y ) ) x. ( ( abs ` x ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( ( abs ` x ) x. y ) , 1 , ( ( abs ` x ) x. y ) ) x. ( ( abs ` x ) / 2 ) )
26	25	reccn2 14327	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( w - x ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) < y ) )
27		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) = ( x ( abs o. - ) w ) )
28		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> x e. CC )
29		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( CC \ { 0 } ) -> w e. CC )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
31	30	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( x - w ) ) )
32		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( abs ` ( x - w ) ) = ( abs ` ( w - x ) ) )
33	31, 32	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - x ) ) )
34	28, 29, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - x ) ) )
35	27, 34	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) = ( abs ` ( w - x ) ) )
36	35	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u <-> ( abs ` ( w - x ) ) < u ) )
37		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( 1 / z ) = ( 1 / x ) )
38		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / x ) e. _V
39	37, 20, 38	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) = ( 1 / x ) )
40		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( 1 / z ) = ( 1 / w ) )
41		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / w ) e. _V
42	40, 20, 41	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
43	39, 42	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) = ( ( 1 / x ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) )
44		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
45		reccl 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
46	44, 45	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> ( 1 / x ) e. CC )
47		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( w e. CC /\ w =/= 0 ) )
48		reccl 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. CC /\ w =/= 0 ) -> ( 1 / w ) e. CC )
49	47, 48	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( CC \ { 0 } ) -> ( 1 / w ) e. CC )
50	30	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / x ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / x ) - ( 1 / w ) ) ) )
51		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( 1 / x ) - ( 1 / w ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) )
52	50, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / x ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) )
53	46, 49, 52	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( 1 / x ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) )
54	43, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) )
55	54	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y <-> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) < y ) )
56	36, 55	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ w e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) < y ) ) )
57	56	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> ( A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y ) <-> A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( w - x ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) < y ) ) )
58	57	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> ( E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y ) <-> E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( w - x ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) < y ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y ) <-> E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( w - x ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / x ) ) ) < y ) ) )
60	26, 59	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y ) )
61	60	rgen2 2975	. . . . . . 7 |- A. x e. ( CC \ { 0 } ) A. y e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y )
62		cnxmet 22576	. . . . . . . . 9 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
63		xmetres2 22166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( CC \ { 0 } ) C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) e. ( *Met ` ( CC \ { 0 } ) ) )
64	62, 14, 63	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) e. ( *Met ` ( CC \ { 0 } ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) )
66	10	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
68	65, 66, 67	metrest 22329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( CC \ { 0 } ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) ) )
69	62, 14, 68	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t ( CC \ { 0 } ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
70	13, 69	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
71	70, 66	metcn 22348	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) e. ( *Met ` ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) : ( CC \ { 0 } ) --> CC /\ A. x e. ( CC \ { 0 } ) A. y e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y ) ) ) )
72	64, 62, 71	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) : ( CC \ { 0 } ) --> CC /\ A. x e. ( CC \ { 0 } ) A. y e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. ( CC \ { 0 } ) ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( ( CC \ { 0 } ) X. ( CC \ { 0 } ) ) ) w ) < u -> ( ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) ` w ) ) < y ) ) )
73	24, 61, 72	mpbir2an 955	. . . . . 6 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) e. ( K Cn J )
74	73	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / z ) ) e. ( K Cn J ) )
75		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( z = y -> ( 1 / z ) = ( 1 / y ) )
76	12, 17, 19, 17, 74, 75	cnmpt21 21474	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
77	10	mulcn 22670	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
78	77	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
79	12, 17, 18, 76, 78	cnmpt22f 21478	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( x x. ( 1 / y ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
80	79	trud 1493	. 2 |- ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( x x. ( 1 / y ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )
81	9, 80	eqeltri 2697	1 |- / e. ( ( J tX K ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  cdivcncf  22720  evth  22758  dvcnvlem  23739  lhop1lem  23776