Theorem minveclem4c 23196

Description: Lemma for minvec 23207. The infimum of the distances to A is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4c	|- ( ph -> S e. RR )

Distinct variable groups:   y, .-   y, A   y, J   y, N   ph, y   y, R   y, U   y, X   y, Y   y, S

Proof of Theorem minveclem4c

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.s	. 2 |- S = inf ( R , RR , < )
2		minvec.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` U )
3		minvec.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` U )
4		minvec.n	. . . . 5 |- N = ( norm ` U )
5		minvec.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. CPreHil )
6		minvec.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
7		minvec.w	. . . . 5 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
8		minvec.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
9		minvec.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` U )
10		minvec.r	. . . . 5 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 23195	. . . 4 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
12	11	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> R C_ RR )
13	11	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> R =/= (/) )
14		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
15	11	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
16		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( y <_ w <-> 0 <_ w ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( y = 0 -> ( A. w e. R y <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
18	17	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
19	14, 15, 18	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
20		infrecl 11005	. . 3 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
21	12, 13, 19, 20	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
22	1, 21	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> S e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LSubSpclss 18932   normcnm 22381   CPreHilccph 22966  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-cph 22968

This theorem is referenced by:  minveclem2  23197  minveclem3b  23199  minveclem4  23203