Theorem fourierdlem74 40397

Description: Given a piecewise smooth function F, the derived function H has a limit at the upper bound of each interval of the partition Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem74.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem74.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem74.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem74.x	|- ( ph -> X e. ran V )
fourierdlem74.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem74.w	|- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem74.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem74.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem74.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem74.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem74.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem74.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem74.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem74.gcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
fourierdlem74.e	|- ( ph -> E e. ( ( G |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem74.a	|- A = if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem74	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   E, s   F, s   H, s   i, M, m, p   M, s, i   Q, i, p   Q, s   R, s   i, V, p   V, s   W, s   i, X, m, p   X, s   Y, s   ph, i, s

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i, m, s, p)   P( i, m, s, p)   Q( m)   R( i, m, p)   E( i, m, p)   F( i, m, p)   G( i, m, s, p)   H( i, m, p)   O( i, m, s, p)   V( m)   W( i, m, p)   Y( i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem74

Dummy variables x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 12485	. . . . . 6 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
2		pire 24210	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
3	2	renegcli 10342	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR )
5		fourierdlem74.xre	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR )
6	4, 5	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u pi + X ) e. RR )
7	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR )
8	7, 5	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( pi + X ) e. RR )
9	6, 8	iccssred 39727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
11		fourierdlem74.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
12		fourierdlem74.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
13		fourierdlem74.v	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
14	11, 12, 13	fourierdlem15 40339	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
15	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
16	10, 15	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
17	1, 16	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
18	17	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( V ` i ) e. RR )
19	5	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> X e. RR )
20	11	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
21	12, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
22	13, 21	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
23	22	simprrd 797	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
24	23	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
26		eqcom 2629	. . . . . . 7 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X <-> X = ( V ` ( i + 1 ) ) )
27	26	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> X = ( V ` ( i + 1 ) ) )
28	27	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> X = ( V ` ( i + 1 ) ) )
29	25, 28	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( V ` i ) < X )
30		fourierdlem74.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> RR )
31		ioossre 12235	. . . . . . 7 |- ( ( V ` i ) (,) X ) C_ RR
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( V ` i ) (,) X ) C_ RR )
33	30, 32	fssresd 6071	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) : ( ( V ` i ) (,) X ) --> RR )
34	33	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) : ( ( V ` i ) (,) X ) --> RR )
35		limcresi 23649	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X )
36		fourierdlem74.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
37	35, 36	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. ( ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) )
38	37	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> W e. ( ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) )
39		mnfxr 10096	. . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -oo e. RR* )
41	17	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
42	17	mnfltd 11958	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -oo < ( V ` i ) )
43	40, 41, 42	xrltled 39486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -oo <_ ( V ` i ) )
44		iooss1 12210	. . . . . . . . 9 |- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ ( V ` i ) ) -> ( ( V ` i ) (,) X ) C_ ( -oo (,) X ) )
45	40, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) (,) X ) C_ ( -oo (,) X ) )
46	45	resabs1d 5428	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) = ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) )
47	46	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) )
48	38, 47	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> W e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) )
49	48	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> W e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) )
50		eqid 2622	. . . 4 |- ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) )
51		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ CC )
53	30, 52	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : RR --> CC )
54		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ RR )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
57	56	tgioo2 22606	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
58	56, 57	dvres 23675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( V ` i ) (,) X ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) )
59	52, 53, 55, 32, 58	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) )
60		fourierdlem74.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( RR _D F )
61	60	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D F ) = G
62		ioontr 39736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( V ` i ) (,) X ) ) = ( ( V ` i ) (,) X )
63	61, 62	reseq12i 5394	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) )
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) )
65	59, 64	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) )
66	65	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = dom ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) )
67	66	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = dom ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) )
68		fourierdlem74.gcn	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
69	68	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( G |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
70		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` i ) (,) X ) )
71	70	reseq2d 5396	. . . . . . . . 9 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> ( G |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) )
72	71, 70	feq12d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> ( ( G |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR <-> ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) : ( ( V ` i ) (,) X ) --> RR ) )
73	72	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( ( G |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR <-> ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) : ( ( V ` i ) (,) X ) --> RR ) )
74	69, 73	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) : ( ( V ` i ) (,) X ) --> RR )
75		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) : ( ( V ` i ) (,) X ) --> RR -> dom ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) = ( ( V ` i ) (,) X ) )
76	74, 75	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> dom ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) = ( ( V ` i ) (,) X ) )
77	67, 76	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) = ( ( V ` i ) (,) X ) )
78		limcresi 23649	. . . . . . . 8 |- ( ( G |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) C_ ( ( ( G |` ( -oo (,) X ) ) |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X )
79	45	resabs1d 5428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) X ) ) |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) = ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) )
80	79	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( G |` ( -oo (,) X ) ) |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) = ( ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) )
81	78, 80	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) C_ ( ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) )
82		fourierdlem74.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. ( ( G |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
83	82	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E e. ( ( G |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
84	81, 83	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E e. ( ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) )
85	59, 64	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) lim CC X ) )
87	86	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) lim CC X ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) lim CC X ) )
88	84, 87	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E e. ( ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) lim CC X ) )
89	88	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> E e. ( ( RR _D ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ) lim CC X ) )
90		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> ( ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) = ( s e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> ( ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
91		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = s -> ( X + x ) = ( X + s ) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = s -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + x ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) )
93	92	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = s -> ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + x ) ) - W ) = ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) )
94	93	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( x e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + x ) ) - W ) ) = ( s e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) )
95		id 22	. . . . 5 |- ( x = s -> x = s )
96	95	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( x e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> x ) = ( s e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> s )
97	18, 19, 29, 34, 49, 50, 77, 89, 90, 94, 96	fourierdlem60 40383	. . 3 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> E e. ( ( s e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> ( ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) lim CC 0 ) )
98		fourierdlem74.a	. . . . 5 |- A = if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
99		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = E )
100	98, 99	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> A = E )
101	100	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> A = E )
102		fourierdlem74.h	. . . . . . 7 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
103	102	reseq1i 5392	. . . . . 6 |- ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
104	103	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
105		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
106	3	rexri 10097	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. RR*
107	106	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
108	2	rexri 10097	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
110	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> -u pi e. RR )
111	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> pi e. RR )
112	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )
113	16, 112	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
114	4	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u pi e. CC )
115	5	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. CC )
116	114, 115	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) - X ) = -u pi )
117	116	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u pi = ( ( -u pi + X ) - X ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> -u pi = ( ( -u pi + X ) - X ) )
119	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( -u pi + X ) e. RR )
120	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( pi + X ) e. RR )
121		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( -u pi + X ) e. RR /\ ( pi + X ) e. RR ) -> ( ( V ` i ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) <-> ( ( V ` i ) e. RR /\ ( -u pi + X ) <_ ( V ` i ) /\ ( V ` i ) <_ ( pi + X ) ) ) )
122	119, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) <-> ( ( V ` i ) e. RR /\ ( -u pi + X ) <_ ( V ` i ) /\ ( V ` i ) <_ ( pi + X ) ) ) )
123	15, 122	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) e. RR /\ ( -u pi + X ) <_ ( V ` i ) /\ ( V ` i ) <_ ( pi + X ) ) )
124	123	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( -u pi + X ) <_ ( V ` i ) )
125	119, 16, 112, 124	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( -u pi + X ) - X ) <_ ( ( V ` i ) - X ) )
126	118, 125	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> -u pi <_ ( ( V ` i ) - X ) )
127	123	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) <_ ( pi + X ) )
128	16, 120, 112, 127	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) <_ ( ( pi + X ) - X ) )
129	111	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> pi e. CC )
130	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. CC )
131	129, 130	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( pi + X ) - X ) = pi )
132	128, 131	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) <_ pi )
133	110, 111, 113, 126, 132	eliccd 39726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. ( -u pi [,] pi ) )
134		fourierdlem74.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
135	133, 134	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
137		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
138	107, 109, 136, 137	fourierdlem8 40332	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
139	105, 138	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
140	139	resmptd 5452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) )
141	140	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) )
142	1	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
143	1, 113	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
144	134	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
145	142, 143, 144	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
146	145	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
147		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( V ` i ) = ( V ` j ) )
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` j ) - X ) )
149	148	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
150	134, 149	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) )
152		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
153	152	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
154	153	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
155		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
156	155	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
157	22	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
158		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
159	157, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
161	160, 156	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
162	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
163	161, 162	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
164	151, 154, 156, 163	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
165	164	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
166		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) = ( X - X ) )
167	166	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) = ( X - X ) )
168	115	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> X e. CC )
169	168	subidd 10380	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( X - X ) = 0 )
170	1, 169	sylanl2 683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( X - X ) = 0 )
171	165, 167, 170	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = 0 )
172	146, 171	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) )
173		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = 0 ) -> s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
174		fourierdlem74.o	. . . . . . . . . . . . 13 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
175	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s = 0 ) -> M e. NN )
176	4, 7, 5, 11, 174, 12, 13, 134	fourierdlem14 40338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Q e. ( O ` M ) )
177	176	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s = 0 ) -> Q e. ( O ` M ) )
178		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s = 0 ) -> s = 0 )
179		fourierdlem74.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. ran V )
180		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) -> V Fn ( 0 ... M ) )
181		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( V Fn ( 0 ... M ) -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )
182	14, 180, 181	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )
183	179, 182	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X )
184		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
185	134	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
186	184, 133, 185	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
187	186	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
188		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V ` i ) = X -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )
189	188	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )
190	115	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( X - X ) = 0 )
191	190	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( X - X ) = 0 )
192	187, 189, 191	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( Q ` i ) = 0 )
193	192	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) = X -> ( Q ` i ) = 0 ) )
194	193	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = 0 ) )
195	183, 194	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = 0 )
196	113, 134	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
197		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
198		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = 0 ) )
199	196, 197, 198	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = 0 ) )
200	195, 199	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. ran Q )
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s = 0 ) -> 0 e. ran Q )
202	178, 201	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s = 0 ) -> s e. ran Q )
203	174, 175, 177, 202	fourierdlem12 40336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s = 0 ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
204	203	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s = 0 ) -> -. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
205	204	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ s = 0 ) -> -. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
206	173, 205	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -. s = 0 )
207	206	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -. s = 0 )
208	207	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
209		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. RR )
210	209	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
211		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> 0 e. RR )
212		elioo3g 12204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ s e. RR* ) /\ ( ( Q ` i ) < s /\ s < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
213	212	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ s e. RR* ) /\ ( ( Q ` i ) < s /\ s < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
214	213	simprrd 797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
215	214	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
216	171	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = 0 )
217	215, 216	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < 0 )
218	210, 211, 217	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -. 0 < s )
219	218	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
220	219	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )
221	220	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
222	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
223	5	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. RR* )
224	223	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR* )
225	162	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
226	225, 210	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
227	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. CC )
228		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
229	3, 2, 228	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
230	229, 51	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u pi [,] pi ) C_ CC
231	186, 133	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u pi [,] pi ) )
232	1, 231	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u pi [,] pi ) )
233	230, 232	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
234	227, 233	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( Q ` i ) ) = ( ( Q ` i ) + X ) )
235	145	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) )
236	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. CC )
237	236, 227	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) = ( V ` i ) )
238	234, 235, 237	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
239	238	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
240	145, 143	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
241	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
242	209	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
243	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
244	213	simprld 795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
245	244	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
246	241, 242, 243, 245	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + s ) )
247	239, 246	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) < ( X + s ) )
248	247	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) < ( X + s ) )
249		ltaddneg 10251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR /\ X e. RR ) -> ( s < 0 <-> ( X + s ) < X ) )
250	210, 225, 249	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( s < 0 <-> ( X + s ) < X ) )
251	217, 250	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < X )
252	222, 224, 226, 248, 251	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) X ) )
253		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) X ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
254	253	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) X ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) )
255	252, 254	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) )
256	255	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) = ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) )
257	256	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) = ( ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
258	208, 221, 257	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
259	172, 258	mpteq12dva 4732	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) = ( s e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> ( ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) )
260	104, 141, 259	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> ( ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) )
261	260, 171	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( ( V ` i ) - X ) (,) 0 ) |-> ( ( ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) X ) ) ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) lim CC 0 ) )
262	97, 101, 261	3eltr4d 2716	. 2 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> A e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
263		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
264		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> s ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> s )
265		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
266	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> F : RR --> RR )
267	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
268	209	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
269	267, 268	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
270	266, 269	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
271	270	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
272	271	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
273	272	3adantl3 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
274		fourierdlem74.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
275	274	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. CC )
276		limccl 23639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) C_ CC
277	276, 36	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. CC )
278	275, 277	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
279	278	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
280	279	3ad2antl1 1223	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
281	273, 280	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
282	209	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. CC )
283	282	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. CC )
284		velsn 4193	. . . . . . . 8 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
285	206, 284	sylnibr 319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -. s e. { 0 } )
286	285	3adantl3 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -. s e. { 0 } )
287	283, 286	eldifd 3585	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
288		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
289		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> W ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> W )
290		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )
291	277	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> W e. CC )
292	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : RR --> RR )
293		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
294	293	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
295	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
296	161	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
297	296	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
298	269	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
299	196	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
300	299, 156	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
301	300	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
302	214	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
303	242, 301, 243, 302	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
304	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
305	161	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
306	227, 305	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
307	304, 306	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
308	307	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
309	303, 308	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
310	295, 297, 298, 247, 309	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
311		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
312	311	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
313	242, 302	ltned 10173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= ( Q ` ( i + 1 ) ) )
314		fourierdlem74.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
315	307	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
316	315	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
317	314, 316	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
318	300	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. CC )
319	292, 162, 294, 288, 310, 312, 313, 317, 318	fourierdlem53 40376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
320		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
321	320	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
322	277	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> W e. CC )
323	289, 321, 322, 318	constlimc 39856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> W e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> W ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
324	288, 289, 290, 272, 291, 319, 323	sublimc 39884	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R - W ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
325	324	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( R - W ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
326		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) = W )
327	326	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X -> ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) = ( R - W ) )
328	327	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) = ( R - W ) )
329	209	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
330		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> 0 e. RR )
331	300	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
332	214	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
333	164	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
334	161	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
335	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> X e. RR )
336		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) < X )
337	334, 335, 336	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) <_ X )
338	334, 335	suble0d 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) <_ 0 <-> ( V ` ( i + 1 ) ) <_ X ) )
339	337, 338	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) <_ 0 )
340	333, 339	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) <_ 0 )
341	340	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) <_ 0 )
342	329, 331, 330, 332, 341	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < 0 )
343	329, 330, 342	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -. 0 < s )
344	343	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
345	344	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )
346	345	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) ) )
347	346	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
348	325, 328, 347	3eltr4d 2716	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
349	348	3adantl3 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
350		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ph )
351		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> i e. ( 0..^ M ) )
352	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> X e. RR )
353	352	3adantl3 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> X e. RR )
354	161	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
355	354	3adantl3 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
356		neqne 2802	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> ( V ` ( i + 1 ) ) =/= X )
357	356	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> X =/= ( V ` ( i + 1 ) ) )
358	357	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> X =/= ( V ` ( i + 1 ) ) )
359	358	3ad2antl3 1225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> X =/= ( V ` ( i + 1 ) ) )
360		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X )
361	353, 355, 359, 360	lttri5d 39513	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> X < ( V ` ( i + 1 ) ) )
362		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( 0 < s , Y , W ) )
363	272	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
364	278	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
365	319	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> R e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
366		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> Y ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> Y )
367	275	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Y e. CC )
368	366, 321, 367, 318	constlimc 39856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Y e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> Y ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
369	368	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> Y e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> Y ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
370	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> X e. RR )
371	161	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
372		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> X < ( V ` ( i + 1 ) ) )
373	370, 371, 372	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X )
374	373	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) = Y )
375		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> 0 e. RR )
376	240	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
377	209	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
378	190	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 = ( X - X ) )
379	378	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> 0 = ( X - X ) )
380	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
381	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
382	296	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
383	162	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> X e. RR )
384		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> -. X <_ ( V ` i ) )
385	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
386	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> X e. RR )
387	385, 386	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> ( ( V ` i ) < X <-> -. X <_ ( V ` i ) ) )
388	384, 387	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> ( V ` i ) < X )
389	388	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> ( V ` i ) < X )
390		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> X < ( V ` ( i + 1 ) ) )
391	381, 382, 383, 389, 390	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> X e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
392	11, 12, 13, 179	fourierdlem12 40336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -. X e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
393	392	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ -. X <_ ( V ` i ) ) -> -. X e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
394	391, 393	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> X <_ ( V ` i ) )
395	370, 380, 370, 394	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( X - X ) <_ ( ( V ` i ) - X ) )
396	379, 395	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( V ` i ) - X ) )
397	145	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( Q ` i ) )
398	397	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( Q ` i ) )
399	396, 398	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( Q ` i ) )
400	399	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ ( Q ` i ) )
401	244	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
402	375, 376, 377, 400, 401	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> 0 < s )
403	402	iftrued 4094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
404	403	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> Y ) )
405	404	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( 0 < s , Y , W ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> Y ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
406	369, 374, 405	3eltr4d 2716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( 0 < s , Y , W ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
407	288, 362, 263, 363, 364, 365, 406	sublimc 39884	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ X < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
408	350, 351, 361, 407	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) < X ) -> ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
409	349, 408	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
410	321, 264, 318	idlimc 39858	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> s ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
411	410	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> s ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
412	164	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
413	305	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
414	227	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> X e. CC )
415	356	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) =/= X )
416	413, 414, 415	subne0d 10401	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) =/= 0 )
417	412, 416	eqnetrd 2861	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) =/= 0 )
418	206	3adantl3 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -. s = 0 )
419	418	neqned 2801	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= 0 )
420	263, 264, 265, 281, 287, 409, 411, 417, 419	divlimc 39888	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
421		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
422	98, 421	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X -> A = ( ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
423	422	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> A = ( ( R - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
424		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -oo (,) X ) C_ RR
425	424	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ RR )
426	30, 425	fssresd 6071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
427	424, 52	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ CC )
428	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -oo e. RR* )
429	5	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -oo < X )
430	56, 428, 5, 429	lptioo2cn 39877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( -oo (,) X ) ) )
431	426, 427, 430, 36	limcrecl 39861	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. RR )
432	30, 5, 274, 431, 102	fourierdlem9 40333	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
433	432	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
434	433, 139	feqresmpt 6250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) )
435	139	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
436		0cnd 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> 0 e. CC )
437	278	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
438	272, 437	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
439	282	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. CC )
440	206	neqned 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= 0 )
441	438, 439, 440	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) e. CC )
442	436, 441	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. CC )
443	102	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. CC ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
444	435, 442, 443	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
445	206	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
446	444, 445	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
447	446	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
448	434, 447	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
449	448	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
450	449	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
451	420, 423, 450	3eltr4d 2716	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> A e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
452	451	3expa 1265	. 2 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ -. ( V ` ( i + 1 ) ) = X ) -> A e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
453	262, 452	pm2.61dan 832	1 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   picpi 14797   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem88  40411  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427