Theorem fourierdlem95 40418

Description: Algebraic manipulation of integrals, used by other lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem95.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem95.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem95.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem95.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem95.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem95.x	|- ( ph -> X e. ran V )
fourierdlem95.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem95.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
fourierdlem95.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem95.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem95.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem95.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem95.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem95.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
fourierdlem95.i	|- I = ( RR _D F )
fourierdlem95.ifn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( I |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
fourierdlem95.b	|- ( ph -> B e. ( ( I |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem95.c	|- ( ph -> C e. ( ( I |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem95.y	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem95.w	|- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem95.admvol	|- ( ph -> A e. dom vol )
fourierdlem95.ass	|- ( ph -> A C_ ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) )
fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e	|- E = ( n e. NN |-> ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) )
fourierdlem95.d	|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem95.o	|- ( ph -> O e. RR )
fourierdlem95.ifeqo	|- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = O )
fourierdlem95.itgdirker	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. A ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( 1 / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem95	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) + ( O / 2 ) ) = S. A ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   D, s   F, s   i, G, s   H, s   K, s   L, s   i, M, p, m   M, s   O, s   R, s   S, s   i, V, p   V, s   W, s   i, X, p, m   X, s   Y, s   i, n, s   ph, i, s

Allowed substitution hints:   ph( m, n, p)   A( i, m, n, p)   B( i, m, n, p)   C( i, m, n, p)   D( i, m, n, p)   P( i, m, n, s, p)   R( i, m, n, p)   S( i, m, n, p)   U( i, m, n, s, p)   E( i, m, n, s, p)   F( i, m, n, p)   G( m, n, p)   H( i, m, n, p)   I( i, m, n, s, p)   K( i, m, n, p)   L( i, m, n, p)   M( n)   O( i, m, n, p)   V( m, n)   W( i, m, n, p)   X( n)   Y( i, m, n, p)

Proof of Theorem fourierdlem95

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
2		fourierdlem95.ass	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) )
3	2	difss2d 3740	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ ( -u pi [,] pi ) )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A C_ ( -u pi [,] pi ) )
5	4	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
6		fourierdlem95.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : RR --> RR )
8		fourierdlem95.xre	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. RR )
10		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X (,) +oo ) C_ RR
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ RR )
12	6, 11	fssresd 6071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
13		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X (,) +oo ) C_ CC
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ CC )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
16		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> +oo e. RR* )
18	8	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X < +oo )
19	15, 17, 8, 18	lptioo1cn 39878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( X (,) +oo ) ) )
20		fourierdlem95.y	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
21	12, 14, 19, 20	limcrecl 39861	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. RR )
23		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -oo (,) X ) C_ RR
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ RR )
25	6, 24	fssresd 6071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
26		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -oo (,) X ) C_ CC
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ CC )
28		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -oo e. RR* )
30	8	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -oo < X )
31	15, 29, 8, 30	lptioo2cn 39877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( -oo (,) X ) ) )
32		fourierdlem95.w	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
33	25, 27, 31, 32	limcrecl 39861	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. RR )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR )
35		fourierdlem95.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
36		fourierdlem95.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
37		fourierdlem95.u	. . . . . . . . 9 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
38	1	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. RR )
39		fourierdlem95.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
40		fourierdlem95.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
41	7, 9, 22, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40	fourierdlem67 40390	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
42	41	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( G ` s ) e. RR )
43	5, 42	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( G ` s ) e. RR )
44		fourierdlem95.admvol	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. dom vol )
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. dom vol )
46	41	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( G ` s ) ) )
47		fourierdlem95.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
48		fourierdlem95.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. ran V )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. ran V )
50	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
51	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
52		fourierdlem95.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. NN )
54		fourierdlem95.v	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> V e. ( P ` M ) )
56		fourierdlem95.fcn	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
57	56	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
58		fourierdlem95.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
59	58	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
60		fourierdlem95.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
61	60	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( V ` j ) = ( V ` i ) )
63	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` i ) - X ) )
64	63	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
66		fourierdlem95.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( RR _D F )
67		fourierdlem95.ifn	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( I |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
68	67	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( I |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
69		fourierdlem95.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( ( I |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. ( ( I |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
71		fourierdlem95.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( ( I |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> C e. ( ( I |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
73	47, 7, 49, 50, 51, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 53, 55, 57, 59, 61, 64, 65, 66, 68, 70, 72	fourierdlem88 40411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. L^1 )
74	46, 73	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
75	4, 45, 42, 74	iblss 23571	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. A |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
76	43, 75	itgrecl 23564	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. A ( G ` s ) _d s e. RR )
77		pire 24210	. . . . . 6 |- pi e. RR
78	77	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> pi e. RR )
79		pipos 24212	. . . . . . 7 |- 0 < pi
80	77, 79	gt0ne0ii 10564	. . . . . 6 |- pi =/= 0
81	80	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> pi =/= 0 )
82	76, 78, 81	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) e. RR )
83		fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e	. . . . 5 |- E = ( n e. NN |-> ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) )
84	83	fvmpt2 6291	. . . 4 |- ( ( n e. NN /\ ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) e. RR ) -> ( E ` n ) = ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) )
85	1, 82, 84	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) )
86		fourierdlem95.o	. . . . . . 7 |- ( ph -> O e. RR )
87	86	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. CC )
88		2cnd 11093	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. CC )
89		2ne0 11113	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
90	89	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
91	87, 88, 90	divrecd 10804	. . . . 5 |- ( ph -> ( O / 2 ) = ( O x. ( 1 / 2 ) ) )
92	91	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O / 2 ) = ( O x. ( 1 / 2 ) ) )
93		fourierdlem95.itgdirker	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. A ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( 1 / 2 ) )
94	93	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / 2 ) = S. A ( ( D ` n ) ` s ) _d s )
95	94	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O x. ( 1 / 2 ) ) = ( O x. S. A ( ( D ` n ) ` s ) _d s ) )
96	92, 95	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O / 2 ) = ( O x. S. A ( ( D ` n ) ` s ) _d s ) )
97	85, 96	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) + ( O / 2 ) ) = ( ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) + ( O x. S. A ( ( D ` n ) ` s ) _d s ) ) )
98	2	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) )
99	98	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> s e. ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) )
100		fourierdlem95.d	. . . . . . . 8 |- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
101		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) = ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } )
102	6, 8, 21, 33, 100, 35, 36, 37, 39, 40, 101	fourierdlem66 40389	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) ) -> ( G ` s ) = ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
103	99, 102	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( G ` s ) = ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
104	103	itgeq2dv 23548	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. A ( G ` s ) _d s = S. A ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) _d s )
105	104	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) = ( S. A ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) _d s / pi ) )
106	78	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> pi e. CC )
107	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> F : RR --> RR )
108	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> X e. RR )
109		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) C_ ( -u pi [,] pi )
110	77	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. RR
111		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
112	110, 77, 111	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
113	109, 112	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) C_ RR
114	113, 98	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. RR )
115	108, 114	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. RR )
116	107, 115	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
117	21, 33	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
119	116, 118	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
120	119	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
121	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> n e. NN )
122	114	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> s e. RR )
123	100	dirkerre 40312	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
124	121, 122, 123	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
125	120, 124	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )
126	103	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( G ` s ) )
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) / pi ) = ( ( G ` s ) / pi ) )
128		picn 24211	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. CC
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> pi e. CC )
130	125	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC )
131	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> pi =/= 0 )
132	129, 130, 129, 131	div23d 10838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) / pi ) = ( ( pi / pi ) x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
133	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( G ` s ) e. CC )
134	133, 129, 131	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( G ` s ) / pi ) = ( ( 1 / pi ) x. ( G ` s ) ) )
135	127, 132, 134	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( 1 / pi ) x. ( G ` s ) ) = ( ( pi / pi ) x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
136	128, 80	dividi 10758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi / pi ) = 1
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( pi / pi ) = 1 )
138	137	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( pi / pi ) x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
139	130	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( 1 x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
140	135, 138, 139	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( ( 1 / pi ) x. ( G ` s ) ) )
141	140	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. A |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. A |-> ( ( 1 / pi ) x. ( G ` s ) ) ) )
142	106, 81	reccld 10794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / pi ) e. CC )
143	142, 43, 75	iblmulc2 23597	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. A |-> ( ( 1 / pi ) x. ( G ` s ) ) ) e. L^1 )
144	141, 143	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. A |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
145	106, 125, 144	itgmulc2 23600	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( pi x. S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) = S. A ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) _d s )
146	145	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. A ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) _d s = ( pi x. S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) )
147	146	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. A ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) _d s / pi ) = ( ( pi x. S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) / pi ) )
148	125, 144	itgcl 23550	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s e. CC )
149	148, 106, 81	divcan3d 10806	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( pi x. S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) / pi ) = S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
150	105, 147, 149	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) = S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
151	87	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> O e. CC )
152	112	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) -> s e. RR )
153	152, 123	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
154	153	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
155	110	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u pi e. RR )
156		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
157	156	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> RR C_ CC )
158		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
159		cncfss 22702	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
160	157, 158, 159	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
161		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( s e. RR |-> ( ( D ` n ) ` s ) )
162	100	dirkerf 40314	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( D ` n ) : RR --> RR )
163	162	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( D ` n ) = ( s e. RR |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) )
164	100	dirkercncf 40324	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
165	163, 164	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( s e. RR |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
166	112	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
167		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR
168	167	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> RR C_ RR )
169	161, 165, 166, 168, 153	cncfmptssg 40083	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
170	160, 169	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
171	170	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
172		cniccibl 23607	. . . . . 6 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. L^1 )
173	155, 78, 171, 172	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. L^1 )
174	4, 45, 154, 173	iblss 23571	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. A |-> ( ( D ` n ) ` s ) ) e. L^1 )
175	151, 124, 174	itgmulc2 23600	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O x. S. A ( ( D ` n ) ` s ) _d s ) = S. A ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
176	150, 175	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( S. A ( G ` s ) _d s / pi ) + ( O x. S. A ( ( D ` n ) ` s ) _d s ) ) = ( S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s + S. A ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) )
177	86	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> O e. RR )
178	177, 124	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )
179	151, 124, 174	iblmulc2 23597	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. A |-> ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
180	125, 144, 178, 179	itgadd 23591	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. A ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) + ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) _d s = ( S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s + S. A ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) )
181		fourierdlem95.ifeqo	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = O )
182	181	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> O = if ( 0 < s , Y , W ) )
183	182	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> O = if ( 0 < s , Y , W ) )
184	183	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
185	184	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) + ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) + ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
186	116	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
187	186	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
188	118	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
189	188	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
190	124	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. CC )
191	187, 189, 190	subdird 10487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) - ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
192	191	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) + ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) - ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) + ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
193	187, 190	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC )
194	189, 190	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. CC )
195	193, 194	npcand 10396	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) - ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) + ( if ( 0 < s , Y , W ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
196	185, 192, 195	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) + ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
197	196	itgeq2dv 23548	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. A ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) + ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) _d s = S. A ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
198	180, 197	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. A ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s + S. A ( O x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) = S. A ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
199	97, 176, 198	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) + ( O / 2 ) ) = S. A ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   sincsin 14794   picpi 14797   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427