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Theorem fourierdlem88 40411
Description: Given a piecewise continuous function F, a continuous function K and a continuous function S, the function G is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem88.1 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem88.f |- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem88.x |- ( ph -> X e. ran V )
fourierdlem88.y |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem88.w |- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem88.h |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem88.k |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem88.u |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem88.n |- ( ph -> N e. RR )
fourierdlem88.s |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem88.g |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
fourierdlem88.m |- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem88.v |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem88.fcn |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem88.r |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
fourierdlem88.l |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem88.q |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem88.o |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem88.i |- I = ( RR _D F )
fourierdlem88.ifn |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( I |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
fourierdlem88.c |- ( ph -> C e. ( ( I |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem88.d |- ( ph -> D e. ( ( I |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem88 |- ( ph -> G e. L^1 )
Distinct variable groups:   C, s   D, s   F, s   i, G, s   H, s   K, s   L, s   i, M, m, p   M, s   N, s   Q, i, p   Q, s   R, s   S, s   i, V, p   V, s   W, s   i, X, m, p   X, s   Y, s   ph, i, s
Allowed substitution hints:   ph( m, p)   C( i, m, p)   D( i, m, p)   P( i, m, s, p)   Q( m)   R( i, m, p)   S( i, m, p)   U( i, m, s, p)   F( i, m, p)   G( m, p)   H( i, m, p)   I( i, m, s, p)   K( i, m, p)   L( i, m, p)   N( i, m, p)   O( i, m, s, p)   V( m)   W( i, m, p)   Y( i, m, p)
Proof of Theorem fourierdlem88
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem88.o . 2 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
2 fourierdlem88.m . 2 |- ( ph -> M e. NN )
3 pire 24210 . . . . 5 |- pi e. RR
43a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
54renegcld 10457 . . 3 |- ( ph -> -u pi e. RR )
6 fourierdlem88.v . . . . . . 7 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
7 fourierdlem88.1 . . . . . . . . 9 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
87fourierdlem2 40326 . . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
92, 8syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
106, 9mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
1110simpld 475 . . . . 5 |- ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
12 elmapi 7879 . . . . 5 |- ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
13 frn 6053 . . . . 5 |- ( V : ( 0 ... M ) --> RR -> ran V C_ RR )
1411, 12, 133syl 18 . . . 4 |- ( ph -> ran V C_ RR )
15 fourierdlem88.x . . . 4 |- ( ph -> X e. ran V )
1614, 15sseldd 3604 . . 3 |- ( ph -> X e. RR )
17 fourierdlem88.q . . 3 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
185, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17fourierdlem14 40338 . 2 |- ( ph -> Q e. ( O ` M ) )
19 fourierdlem88.f . . . . . . 7 |- ( ph -> F : RR --> RR )
20 ioossre 12235 . . . . . . . . . 10 |- ( X (,) +oo ) C_ RR
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ RR )
2219, 21fssresd 6071 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
23 ax-resscn 9993 . . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
2421, 23syl6ss 3615 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ CC )
25 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
26 pnfxr 10092 . . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> +oo e. RR* )
2816ltpnfd 11955 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> X < +oo )
2925, 27, 16, 28lptioo1cn 39878 . . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( X (,) +oo ) ) )
30 fourierdlem88.y . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
3122, 24, 29, 30limcrecl 39861 . . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
32 ioossre 12235 . . . . . . . . . 10 |- ( -oo (,) X ) C_ RR
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ RR )
3419, 33fssresd 6071 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
3533, 23syl6ss 3615 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ CC )
36 mnfxr 10096 . . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> -oo e. RR* )
3816mnfltd 11958 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> -oo < X )
3925, 37, 16, 38lptioo2cn 39877 . . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( -oo (,) X ) ) )
40 fourierdlem88.w . . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
4134, 35, 39, 40limcrecl 39861 . . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR )
42 fourierdlem88.h . . . . . . 7 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
43 fourierdlem88.k . . . . . . 7 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
44 fourierdlem88.u . . . . . . 7 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
4519, 16, 31, 41, 42, 43, 44fourierdlem55 40378 . . . . . 6 |- ( ph -> U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
4645ffvelrnda 6359 . . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
47 fourierdlem88.n . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
48 fourierdlem88.s . . . . . . . 8 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
4948fourierdlem5 40329 . . . . . . 7 |- ( N e. RR -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5047, 49syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5150ffvelrnda 6359 . . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
5246, 51remulcld 10070 . . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
5352recnd 10068 . . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. CC )
54 fourierdlem88.g . . 3 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
5553, 54fmptd 6385 . 2 |- ( ph -> G : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
56 ssid 3624 . . . 4 |- CC C_ CC
57 cncfss 22702 . . . 4 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) C_ ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
5823, 56, 57mp2an 708 . . 3 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) C_ ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC )
5919adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : RR --> RR )
601, 2, 18fourierdlem15 40339 . . . . . 6 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
6160adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
62 elfzofz 12485 . . . . . 6 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
6362adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
6461, 63ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u pi [,] pi ) )
65 fzofzp1 12565 . . . . . 6 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
6665adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
6761, 66ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( -u pi [,] pi ) )
6816adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
697, 2, 6, 15fourierdlem12 40336 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -. X e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
7068recnd 10068 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. CC )
7170addid2d 10237 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( 0 + X ) = X )
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR )
7372renegcld 10457 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR )
7473, 68readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( -u pi + X ) e. RR )
7572, 68readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( pi + X ) e. RR )
7674, 75iccssred 39727 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
777, 2, 6fourierdlem15 40339 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
7978, 63ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
8076, 79sseldd 3604 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
8180, 68resubcld 10458 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
8217fvmpt2 6291 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
8363, 81, 82syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
8483oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) )
8580recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. CC )
8685, 70npcand 10396 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) = ( V ` i ) )
8784, 86eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( V ` i ) )
88 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = j -> ( V ` i ) = ( V ` j ) )
8988oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` j ) - X ) )
9089cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
9117, 90eqtri 2644 . . . . . . . . . . . 12 |- Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) )
93 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> j = ( i + 1 ) )
9493fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
9594oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
9678, 66ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
9776, 96sseldd 3604 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
9897, 68resubcld 10458 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
9992, 95, 66, 98fvmptd 6288 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
10099oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) )
10197recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
102101, 70npcand 10396 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
103100, 102eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
10487, 103oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) = ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
10571, 104eleq12d 2695 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( 0 + X ) e. ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) <-> X e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
10669, 105mtbird 315 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -. ( 0 + X ) e. ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) )
107 0red 10041 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> 0 e. RR )
10883, 81eqeltrd 2701 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
10999, 98eqeltrd 2701 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
110107, 108, 109, 68eliooshift 39729 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( 0 e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( 0 + X ) e. ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) )
111106, 110mtbird 315 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -. 0 e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
112 fourierdlem88.fcn . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
113104reseq2d 5396 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) = ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
114104oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
115112, 113, 1143eltr4d 2716 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) )
11631adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Y e. RR )
11741adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> W e. RR )
11847adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> N e. RR )
11959, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54fourierdlem78 40401 . . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
12058, 119sseldi 3601 . 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
121 eqid 2622 . . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) )
122 eqid 2622 . . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) )
123 eqid 2622 . . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
1243renegcli 10342 . . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR
125124rexri 10097 . . . . . . . . . 10 |- -u pi e. RR*
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -u pi e. RR* )
1273rexri 10097 . . . . . . . . . 10 |- pi e. RR*
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> pi e. RR* )
12961adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
130 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
131126, 128, 129, 130fourierdlem8 40332 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
132 ioossicc 12259 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
133132sseli 3599 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
134133adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
135131, 134sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
13619, 16, 31, 41, 42fourierdlem9 40333 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
137136ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
138137, 135ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
13943fourierdlem43 40367 . . . . . . . . . 10 |- K : ( -u pi [,] pi ) --> RR
140139a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
141140, 135ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
142138, 141remulcld 10070 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
14344fvmpt2 6291 . . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
144135, 142, 143syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
145144, 142eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
146145recnd 10068 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( U ` s ) e. CC )
14747, 48fourierdlem18 40342 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
148 cncff 22696 . . . . . . . . 9 |- ( S e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
150149adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
151150adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
152151, 135ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
153152recnd 10068 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( S ` s ) e. CC )
154 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) )
155 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) )
156 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
157138recnd 10068 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) e. CC )
158141recnd 10068 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( K ` s ) e. CC )
159 fourierdlem88.r . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
160 fourierdlem88.i . . . . . . . 8 |- I = ( RR _D F )
161 fourierdlem88.ifn . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( I |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
16223a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ CC )
163161, 162fssd 6057 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( I |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
164 fourierdlem88.d . . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( ( I |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
165 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- if ( ( V ` i ) = X , D , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) = if ( ( V ` i ) = X , D , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) )
16616, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165fourierdlem75 40398 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , D , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
167136adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
168125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
169127a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
170 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
171168, 169, 61, 170fourierdlem8 40332 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
172132, 171syl5ss 3614 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
173167, 172feqresmpt 6250 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) )
174173oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
175166, 174eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , D , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
176 limcresi 23649 . . . . . . . 8 |- ( K lim CC ( Q ` i ) ) C_ ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) )
17743fourierdlem62 40385 . . . . . . . . . 10 |- K e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> K e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
179178, 64cnlimci 23653 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` i ) ) e. ( K lim CC ( Q ` i ) ) )
180176, 179sseldi 3601 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` i ) ) e. ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
181139a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
182181, 172feqresmpt 6250 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) )
183182oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
184180, 183eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` i ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
185154, 155, 156, 157, 158, 175, 184mullimc 39848 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( if ( ( V ` i ) = X , D , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
186144eqcomd 2628 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( U ` s ) )
187186mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) )
188187oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
189185, 188eleqtrd 2703 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( if ( ( V ` i ) = X , D , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
190 limcresi 23649 . . . . . 6 |- ( S lim CC ( Q ` i ) ) C_ ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) )
191147adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> S e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
192191, 64cnlimci 23653 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` i ) ) e. ( S lim CC ( Q ` i ) ) )
193190, 192sseldi 3601 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` i ) ) e. ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
194150, 172feqresmpt 6250 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) )
195194oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
196193, 195eleqtrd 2703 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` i ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
197121, 122, 123, 146, 153, 189, 196mullimc 39848 . . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( if ( ( V ` i ) = X , D , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) x. ( S ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
19852, 54fmptd 6385 . . . . . . 7 |- ( ph -> G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
199198adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
200199, 172feqresmpt 6250 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( G ` s ) ) )
201145, 152remulcld 10070 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
20254fvmpt2 6291 . . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
203135, 201, 202syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
204203mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( G ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
205200, 204eqtr2d 2657 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
206205oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
207197, 206eleqtrd 2703 . 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( if ( ( V ` i ) = X , D , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) x. ( S ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
208 fourierdlem88.l . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
209 fourierdlem88.c . . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( ( I |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
210 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , C , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , C , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
21116, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210fourierdlem74 40397 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , C , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
212173oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
213211, 212eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , C , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
214 limcresi 23649 . . . . . . . 8 |- ( K lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) )
215178, 67cnlimci 23653 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( K lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
216214, 215sseldi 3601 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
217182oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
218216, 217eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
219154, 155, 156, 157, 158, 213, 218mullimc 39848 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , C , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) x. ( K ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
220187oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
221219, 220eleqtrd 2703 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , C , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) x. ( K ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
222 limcresi 23649 . . . . . 6 |- ( S lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) )
223191, 67cnlimci 23653 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( S lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
224222, 223sseldi 3601 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
225194oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
226224, 225eleqtrd 2703 . . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
227121, 122, 123, 146, 153, 221, 226mullimc 39848 . . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , C , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) x. ( K ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) x. ( S ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
228205oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
229227, 228eleqtrd 2703 . 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , C , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) x. ( K ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) x. ( S ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
2301, 2, 18, 55, 120, 207, 229fourierdlem69 40392 1 |- ( ph -> G e. L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sincsin 14794   picpi 14797   TopOpenctopn 16082  ℂfldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   L^1cibl 23386   lim CC climc 23626   _D cdv 23627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631
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