Theorem fourierdlem15 40339

Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem15.1	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem15.2	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem15.3	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem15	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   B, i, m, p   i, M, m, p   Q, i, p   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( i, m, p)   Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem15

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem15.3	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
2		fourierdlem15.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem15.1	. . . . . . . 8 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4	3	fourierdlem2 40326	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
7	6	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
8		reex 10027	. . . . . 6 |- RR e. _V
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. _V )
10		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0 ... M ) e. _V
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. _V )
12	9, 11	elmapd 7871	. . . 4 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR ) )
13	7, 12	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
14		ffn 6045	. . 3 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
15	13, 14	syl 17	. 2 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
16	6	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
18	17	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
19		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
20		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21	19, 20	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
22	2, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
23		eluzfz1 12348	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
25	13, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
26	18, 25	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
27	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A e. RR )
28	17	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
29		eluzfz2 12349	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
30	22, 29	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
31	13, 30	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
32	28, 31	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
33	32	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> B e. RR )
34	13	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
35	18	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A = ( Q ` 0 ) )
37		elfzuz 12338	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
38	37	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
39	13	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
40		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> 0 <_ j )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> 0 <_ j )
42		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j e. ZZ )
43	42	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j e. RR )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. RR )
45		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ZZ )
46	45	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. RR )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> i e. RR )
48		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
49	48	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> M e. RR )
51		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j <_ i )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j <_ i )
53		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i <_ M )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> i <_ M )
55	44, 47, 50, 52, 54	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j <_ M )
56	42	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ZZ )
57		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> 0 e. ZZ )
58	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> M e. ZZ )
59		elfz 12332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
61	41, 55, 60	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
62	61	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
63	39, 62	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
64		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ph )
65		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> 0 <_ j )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
67		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j e. ZZ )
68	67	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j e. RR )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. RR )
70	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> i e. RR )
71	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. RR )
72		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. RR -> ( i - 1 ) e. RR )
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( i - 1 ) e. RR )
74		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j <_ ( i - 1 ) )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j <_ ( i - 1 ) )
76	70	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( i - 1 ) < i )
77	69, 73, 70, 75, 76	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j < i )
78	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> i <_ M )
79	69, 70, 71, 77, 78	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j < M )
80	67	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
81		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
82	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
83		elfzo 12472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
84	80, 81, 82, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
85	66, 79, 84	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
86	85	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
87	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ( 0 ... M ) )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
90	87, 89	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
91		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
93	87, 92	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) e. RR )
94		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> j e. ( 0..^ M ) ) )
95	94	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) ) )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( Q ` i ) = ( Q ` j ) )
97		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( i + 1 ) = ( j + 1 ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) )
99	96, 98	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )
100	95, 99	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) )
101	16	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
102	101	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
103	100, 102	chvarv 2263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) )
104	90, 93, 103	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
105	64, 86, 104	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
106	38, 63, 105	monoord 12831	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
107	36, 106	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A <_ ( Q ` i ) )
108		elfzuz3 12339	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ( ZZ>= ` i ) )
109	108	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> M e. ( ZZ>= ` i ) )
110	13	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
111		fz0fzelfz0 12445	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
112	111	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
113	110, 112	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
114	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
115		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
116	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> i e. RR )
117		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j e. ZZ )
118	117	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j e. RR )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
120		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ i )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
122		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> i <_ j )
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> i <_ j )
124	115, 116, 119, 121, 123	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
125	124	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
126	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
127	2	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. RR )
129		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
130	128, 129	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
131		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j <_ ( M - 1 ) )
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ ( M - 1 ) )
133	128	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) < M )
134	126, 130, 128, 132, 133	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j < M )
135	126, 128, 134	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ M )
136	135	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ M )
137	117	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
138		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
139	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
140	137, 138, 139, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
141	125, 136, 140	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
142	114, 141	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
143	118	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
144		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
145		0le1 10551	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ 1 )
147	143, 144, 125, 146	addge0d 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( j + 1 ) )
148	126, 130, 129, 132	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ ( ( M - 1 ) + 1 ) )
149	2	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. CC )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. CC )
151		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
153	148, 152	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ M )
154	153	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ M )
155	137	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
156		elfz 12332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j + 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ ( j + 1 ) /\ ( j + 1 ) <_ M ) ) )
157	155, 138, 139, 156	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ ( j + 1 ) /\ ( j + 1 ) <_ M ) ) )
158	147, 154, 157	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
159	114, 158	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) e. RR )
160		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ph )
161	134	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j < M )
162	137, 138, 139, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
163	125, 161, 162	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
164	160, 163, 103	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) )
165	142, 159, 164	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
166	109, 113, 165	monoord 12831	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
167	28	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` M ) = B )
168	166, 167	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ B )
169	27, 33, 34, 107, 168	eliccd 39726	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) )
170	169	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) )
171		fnfvrnss 6390	. . 3 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ A. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) ) -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
172	15, 170, 171	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
173		df-f 5892	. 2 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) <-> ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ran Q C_ ( A [,] B ) ) )
174	15, 172, 173	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  fourierdlem38  40362  fourierdlem50  40373  fourierdlem54  40377  fourierdlem63  40386  fourierdlem65  40388  fourierdlem69  40392  fourierdlem70  40393  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem79  40402  fourierdlem81  40404  fourierdlem84  40407  fourierdlem85  40408  fourierdlem88  40411  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem92  40415  fourierdlem93  40416  fourierdlem100  40423  fourierdlem101  40424  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem107  40430  fourierdlem111  40434  fourierdlem112  40435  fourierdlem113  40436