Theorem mplmonmul 19464

Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of ( x ^ 2 ) ( y ^ 2 ) with ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is ( x ^ 2 ) ( y ^ 3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors <. 2 , 2 , 0 >. and <. 0 , 1 , 3 >. are added to give <. 2 , 3 , 3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon.s	|- P = ( I mPoly R )
mplmon.b	|- B = ( Base ` P )
mplmon.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplmon.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplmon.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplmon.i	|- ( ph -> I e. W )
mplmon.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplmon.x	|- ( ph -> X e. D )
mplmonmul.t	|- .x. = ( .r ` P )
mplmonmul.x	|- ( ph -> Y e. D )

Assertion

Ref	Expression
mplmonmul	|- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   y, D   f, I   ph, y   y, f, X   y, .0.   y, .1.   y, R   f, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( f)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   I( y)   W( y, f)   .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul

Dummy variables j k x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon.s	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
2		mplmon.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		mplmonmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` P )
5		mplmon.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
6		mplmon.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		mplmon.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
8		mplmon.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
9		mplmon.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
10		mplmon.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. D )
11	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10	mplmon 19463	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) e. B )
12		mplmonmul.x	. . . 4 |- ( ph -> Y e. D )
13	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12	mplmon 19463	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) e. B )
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	mplmul 19443	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
15		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( y = k -> ( y = ( X oF + Y ) <-> k = ( X oF + Y ) ) )
16	15	ifbid 4108	. . . 4 |- ( y = k -> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
17	16	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } )
19	18	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> { X } C_ { x e. D | x oR <_ k } )
20	19	resmptd 5452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
22	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
23		ringmnd 18556	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Mnd )
25	10	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. D )
26		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .1. )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) )
28		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1r ` R ) e. _V
29	7, 28	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- .1. e. _V
30	26, 27, 29	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
31	25, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
32		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. D | x oR <_ k } C_ D
33	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
34		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ k }
36	5, 35	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
37	33, 34, 18, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
38	32, 37	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. D )
39		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( k oF - X ) -> ( y = Y <-> ( k oF - X ) = Y ) )
40	39	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( k oF - X ) -> if ( y = Y , .1. , .0. ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) )
42		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. e. _V
44	29, 43	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. _V
45	40, 41, 44	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k oF - X ) e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
46	38, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
47	31, 46	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) )
48		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
49	48, 7	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
50	48, 6	ring0cl 18569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
51	49, 50	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
52	22, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
53	48, 3, 7	ringlidm 18571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
54	22, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
55	5	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
56	33, 34, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
57	56	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( k ` z ) e. NN0 )
58	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
59	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. D )
60	5	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( I e. W /\ X e. D ) -> X : I --> NN0 )
61	58, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X : I --> NN0 )
62	61	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
63	62	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
64	5	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. W /\ Y e. D ) -> Y : I --> NN0 )
65	8, 12, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Y : I --> NN0 )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y : I --> NN0 )
67	66	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
68	67	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
69		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` z ) e. NN0 -> ( k ` z ) e. CC )
70		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. CC )
71		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. CC )
72		subadd 10284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k ` z ) e. CC /\ ( X ` z ) e. CC /\ ( Y ` z ) e. CC ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k ` z ) e. NN0 /\ ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
74	57, 63, 68, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
75		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
76	74, 75	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
77	76	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
78		mpteqb 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) ) )
79		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V )
80	78, 79	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) )
81		mpteqb 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( k ` z ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
82		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k ` z ) e. _V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( k ` z ) e. _V )
84	81, 83	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
85	77, 80, 84	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
86	56	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k = ( z e. I |-> ( k ` z ) ) )
87	61	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
89	33, 57, 63, 86, 88	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
90	66	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
92	89, 91	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) ) )
93	58, 62, 67, 87, 90	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
95	86, 94	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k = ( X oF + Y ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
96	85, 92, 95	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> k = ( X oF + Y ) ) )
97	96	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
98	47, 54, 97	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
99	97, 52	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
100	98, 99	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) )
101		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) )
102		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = X -> ( k oF - j ) = ( k oF - X ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) )
104	101, 103	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( j = X -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
105	48, 104	gsumsn 18354	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ X e. D /\ ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
106	24, 25, 100, 105	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
107	21, 106, 98	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
108	6	gsum0 17278	. . . . . . 7 |- ( R gsumg (/) ) = .0.
109		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. { x e. D | x oR <_ k } )
110	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
111	1, 48, 2, 5, 11	mplelf 19433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
112	111	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
113		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
114	32, 113	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. D )
115	112, 114	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) )
116	1, 48, 2, 5, 13	mplelf 19433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
117	116	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
118	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
119		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
120	5, 35	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
121	118, 119, 113, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
122	32, 121	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. D )
123	117, 122	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) )
124	48, 3	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
125	110, 115, 123, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
126		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
127	125, 126	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) )
128		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } )
129		fnresdisj 6001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
130	127, 128, 129	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
131	130	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
132	109, 131	sylan2br 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg (/) ) )
134	62	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. RR )
135		nn0addge1 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
136	134, 67, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
137	136	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
138		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V )
139	58, 62, 138, 87, 93	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oR <_ ( X oF + Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
140	137, 139	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X oR <_ ( X oF + Y ) )
141		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x oR <_ ( X oF + Y ) <-> X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
142	141	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } <-> ( X e. D /\ X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
143	59, 140, 142	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
144		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( x oR <_ k <-> x oR <_ ( X oF + Y ) ) )
145	144	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( X oF + Y ) -> { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
146	145	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( X e. { x e. D | x oR <_ k } <-> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } ) )
147	143, 146	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( k = ( X oF + Y ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } ) )
148	147	con3dimp 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> -. k = ( X oF + Y ) )
149	148	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = .0. )
150	108, 133, 149	3eqtr4a 2682	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
151	107, 150	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
152	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
153		ringcmn 18581	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
154	152, 153	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
155	5	psrbaglefi 19372	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
156	8, 155	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
157		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. D | x oR <_ k } C_ D -> ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } ) )
158	32, 157	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } )
159	158	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. ( D \ { X } ) )
160	111	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
161		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( D \ { X } ) -> y =/= X )
162	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> y =/= X )
163	162	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> -. y = X )
164	163	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .0. )
165		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
166	5, 165	rabex2 4815	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. _V
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> D e. _V )
168	164, 167	suppss2 7329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
169	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. e. _V )
170	160, 168, 167, 169	suppssr 7326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( D \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
171	159, 170	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
173		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
174	48, 3, 6	ringlz 18587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
175	110, 123, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
176	173, 175	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
177	172, 176	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
178	166	rabex 4813	. . . . . . . 8 |- { x e. D | x oR <_ k } e. _V
179	178	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. _V )
180	177, 179	suppss2 7329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } )
181	166	mptrabex 6488	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V
182		funmpt 5926	. . . . . . . . 9 |- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
183	181, 182, 43	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V )
184	183	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) )
185		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { X } e. Fin
186	185	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { X } e. Fin )
187		suppssfifsupp 8290	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( { X } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
188	184, 186, 180, 187	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
189	48, 6, 154, 156, 127, 180, 188	gsumres 18314	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
190	151, 189	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
191	190	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
192	17, 191	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
193	14, 192	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193   1rcur 18501   Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-psr 19356  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  mplcoe3  19466  mplcoe5  19468  mplmon2mul  19501