Theorem nmcexi 28885

Description: Lemma for nmcopexi 28886 and nmcfnexi 28910. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcex.1	|- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
nmcex.2	|- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
nmcex.3	|- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
nmcex.4	|- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
nmcex.5	|- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nmcexi	|- ( S ` T ) e. RR

Distinct variable groups:   x, m, y, z, N   T, m, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcex.2	. . 3 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
2		nmcex.3	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
3		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( m e. RR <-> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> m e. RR ) )
5	4	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
6	5	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~H /\ ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> m e. RR )
7	6	rexlimiva 3028	. . . . 5 |- ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
8	7	abssi 3677	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR
9		ax-hv0cl 27860	. . . . . . 7 |- 0h e. ~H
10		norm0 27985	. . . . . . . . 9 |- ( normh ` 0h ) = 0
11		0le1 10551	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
12	10, 11	eqbrtri 4674	. . . . . . . 8 |- ( normh ` 0h ) <_ 1
13		nmcex.4	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
14	13	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- 0 = ( N ` ( T ` 0h ) )
15	12, 14	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( normh ` x ) = ( normh ` 0h ) )
17	16	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( normh ` 0h ) <_ 1 ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0h -> ( T ` x ) = ( T ` 0h ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( N ` ( T ` x ) ) = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = 0h -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) )
22	21	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( 0h e. ~H /\ ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) -> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
23	9, 15, 22	mp2an 708	. . . . . 6 |- E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) )
24		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
25		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
26	25	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
27	26	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
28	24, 27	elab 3350	. . . . . 6 |- ( 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
29	23, 28	mpbir 221	. . . . 5 |- 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) }
30	29	ne0ii 3923	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/)
31		nmcex.1	. . . . 5 |- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
32		2rp 11837	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
33		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( 2 / y ) e. RR+ )
34	32, 33	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR+ )
35	34	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR )
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( 2 / y ) e. RR )
37		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> y e. RR )
39	38	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. CC )
41		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. ~H )
42		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
43	40, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
44		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
46		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) <_ 1 )
47		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR )
48	47	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) e. RR )
49		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
50		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
52	48, 49, 51	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) ) )
53	46, 52	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) )
54		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. CC )
55		norm-iii 27997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
56	54, 55	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
57		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR )
58		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( y / 2 ) )
59	57, 58	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( abs ` ( y / 2 ) ) = ( y / 2 ) )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
62	56, 61	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
63	51, 41, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
64	40	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 1 ) = ( y / 2 ) )
65	53, 63, 64	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) <_ ( y / 2 ) )
66		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) < y )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) < y )
68	45, 39, 38, 65, 67	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y )
69		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( normh ` z ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
70	69	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( normh ` z ) < y <-> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y ) )
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( N ` ( T ` z ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
73	72	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( N ` ( T ` z ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
74	70, 73	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) <-> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
75	74	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
76	43, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
77	68, 76	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
78	2	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
79	78, 49, 51	ltmuldiv2d 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
80	51	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR )
81		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
82	78, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
83	79, 82	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
84		nmcex.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
85	51, 41, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
86	85	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
87		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
88		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
89		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
90		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
91		recdiv 10731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
92	89, 90, 91	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
93	87, 88, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
95	94	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
96	83, 86, 95	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
97	77, 96	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
98	97	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
99	98	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
100	99	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
101		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( n <_ ( 2 / y ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
102	100, 101	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
103	102	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
104	103	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
105	104	alrimiv 1855	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
106		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> n = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
107	106	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
108	107	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
109	108	ralab 3367	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) )
110		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( n <_ z <-> n <_ ( 2 / y ) ) )
111	110	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
112	111	albidv 1849	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
113	109, 112	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
114	113	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 / y ) e. RR /\ A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
115	36, 105, 114	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
116	115	rexlimiva 3028	. . . . 5 |- ( E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
117	31, 116	ax-mp 5	. . . 4 |- E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z
118		supxrre 12157	. . . 4 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) )
119	8, 30, 117, 118	mp3an 1424	. . 3 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
120	1, 119	eqtri 2644	. 2 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
121		suprcl 10983	. . 3 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR )
122	8, 30, 117, 121	mp3an 1424	. 2 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR
123	120, 122	eqeltri 2697	1 |- ( S ` T ) e. RR

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~Hchil 27776   .h csm 27778   normhcno 27780   0hc0v 27781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825

This theorem is referenced by:  nmcopexi  28886  nmcfnexi  28910