Theorem siilem1 27706

Description: Lemma for sii 27709. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	|- X = ( BaseSet ` U )
siii.6	|- N = ( normCV ` U )
siii.7	|- P = ( .iOLD ` U )
siii.9	|- U e. CPreHil OLD
siii.a	|- A e. X
siii.b	|- B e. X
sii1.3	|- M = ( -v ` U )
sii1.4	|- S = ( .sOLD ` U )
sii1.c	|- C e. CC
sii1.r	|- ( C x. ( A P B ) ) e. RR
sii1.z	|- 0 <_ ( C x. ( A P B ) )

Assertion

Ref	Expression
siilem1	|- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( sqr ` ( ( A P B ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) )

Proof of Theorem siilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		siii.1	. . . . . . . . . 10 |- X = ( BaseSet ` U )
2		siii.6	. . . . . . . . . 10 |- N = ( normCV ` U )
3		siii.9	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CPreHil OLD
4	3	phnvi 27671	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
5		siii.a	. . . . . . . . . . 11 |- A e. X
6		sii1.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- C e. CC
7	6	cjcli 13909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( * ` C ) e. CC
8		siii.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. X
9		sii1.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( .sOLD ` U )
10	1, 9	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( * ` C ) e. CC /\ B e. X ) -> ( ( * ` C ) S B ) e. X )
11	4, 7, 8, 10	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` C ) S B ) e. X
12		sii1.3	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( -v ` U )
13	1, 12	nvmcl 27501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X ) -> ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) e. X )
14	4, 5, 11, 13	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 |- ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) e. X
15	1, 2, 4, 14	nvcli 27517	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) e. RR
16	15	sqge0i 12951	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( ( N ` ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) ^ 2 )
17	14, 5, 11	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) e. X /\ A e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X )
18		siii.7	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( .iOLD ` U )
19	1, 12, 18	dipsubdi 27704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) e. X /\ A e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X ) ) -> ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P A ) - ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) )
20	3, 17, 19	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P A ) - ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( ( * ` C ) S B ) ) )
21	1, 2, 18	ipidsq 27565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) e. X ) -> ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( N ` ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) ^ 2 ) )
22	4, 14, 21	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( N ` ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) ^ 2 )
23	7, 8, 11	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( * ` C ) e. CC /\ B e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X )
24	1, 9, 18	dipass 27700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( ( * ` C ) e. CC /\ B e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X ) ) -> ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( ( * ` C ) x. ( B P ( ( * ` C ) S B ) ) ) )
25	3, 23, 24	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( ( * ` C ) x. ( B P ( ( * ` C ) S B ) ) )
26	8, 6, 8	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. X /\ C e. CC /\ B e. X )
27	1, 9, 18	dipassr2 27702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( B e. X /\ C e. CC /\ B e. X ) ) -> ( B P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( C x. ( B P B ) ) )
28	3, 26, 27	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( C x. ( B P B ) )
29	1, 2, 18	ipidsq 27565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( B P B ) = ( ( N ` B ) ^ 2 ) )
30	4, 8, 29	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B P B ) = ( ( N ` B ) ^ 2 )
31	30	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C x. ( B P B ) ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) )
32	28, 31	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) )
33	32	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( * ` C ) x. ( B P ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
34	25, 33	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
35	34	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) )
36	35	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) ) - ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) ) - ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
37	1, 2, 4, 5	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N ` A ) e. RR
38	37	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` A ) e. CC
39	38	sqcli 12944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` A ) ^ 2 ) e. CC
40	1, 18	dipcl 27567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B P A ) e. CC )
41	4, 8, 5, 40	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B P A ) e. CC
42	7, 41	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) e. CC
43		sii1.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C x. ( A P B ) ) e. RR
44	43	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C x. ( A P B ) ) e. CC
45	1, 2, 4, 8	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N ` B ) e. RR
46	45	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N ` B ) e. CC
47	46	sqcli 12944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N ` B ) ^ 2 ) e. CC
48	6, 47	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) e. CC
49	7, 48	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) e. CC
50		sub4 10326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) e. CC ) /\ ( ( C x. ( A P B ) ) e. CC /\ ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) ) - ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
51	39, 42, 44, 49, 50	mp4an 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) ) - ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
52	36, 51	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) ) - ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
53	5, 11, 5	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X /\ A e. X )
54	1, 12, 18	dipsubdir 27703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( A e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P A ) = ( ( A P A ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P A ) ) )
55	3, 53, 54	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P A ) = ( ( A P A ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P A ) )
56	1, 2, 18	ipidsq 27565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A P A ) = ( ( N ` A ) ^ 2 ) )
57	4, 5, 56	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A P A ) = ( ( N ` A ) ^ 2 )
58	7, 8, 5	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( * ` C ) e. CC /\ B e. X /\ A e. X )
59	1, 9, 18	dipass 27700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( ( * ` C ) e. CC /\ B e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( ( * ` C ) S B ) P A ) = ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) )
60	3, 58, 59	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( * ` C ) S B ) P A ) = ( ( * ` C ) x. ( B P A ) )
61	57, 60	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A P A ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P A ) ) = ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) )
62	55, 61	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P A ) = ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) )
63	5, 11, 11	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X )
64	1, 12, 18	dipsubdir 27703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( A e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X /\ ( ( * ` C ) S B ) e. X ) ) -> ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( ( A P ( ( * ` C ) S B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) )
65	3, 63, 64	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( ( A P ( ( * ` C ) S B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) )
66	5, 6, 8	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. X /\ C e. CC /\ B e. X )
67	1, 9, 18	dipassr2 27702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( A e. X /\ C e. CC /\ B e. X ) ) -> ( A P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( C x. ( A P B ) ) )
68	3, 66, 67	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( C x. ( A P B ) )
69	68	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A P ( ( * ` C ) S B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) )
70	65, 69	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( ( * ` C ) S B ) ) = ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) )
71	62, 70	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P A ) - ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) ) - ( ( C x. ( A P B ) ) - ( ( ( * ` C ) S B ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) )
72	7, 41, 48	subdii 10479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) )
73	72	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( ( * ` C ) x. ( B P A ) ) - ( ( * ` C ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
74	52, 71, 73	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P A ) - ( ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) P ( ( * ` C ) S B ) ) ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
75	20, 22, 74	3eqtr3i 2652	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` ( A M ( ( * ` C ) S B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
76	16, 75	breqtri 4678	. . . . . . 7 |- 0 <_ ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
77	41, 48	subeq0i 10361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
78		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) = 0 -> ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( * ` C ) x. 0 ) )
79	7	mul01i 10226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` C ) x. 0 ) = 0
80	78, 79	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) = 0 -> ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) = 0 )
81	77, 80	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) = 0 )
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - 0 ) )
83	37	resqcli 12949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` A ) ^ 2 ) e. RR
84	83	recni 10052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` A ) ^ 2 ) e. CC
85	84, 44	subcli 10357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) e. CC
86	85	subid1i 10353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - 0 ) = ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) )
87	82, 86	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) - ( ( * ` C ) x. ( ( B P A ) - ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) )
88	76, 87	syl5breq 4690	. . . . . 6 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) )
89	83, 43	subge0i 10581	. . . . . 6 |- ( 0 <_ ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) - ( C x. ( A P B ) ) ) <-> ( C x. ( A P B ) ) <_ ( ( N ` A ) ^ 2 ) )
90	88, 89	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( C x. ( A P B ) ) <_ ( ( N ` A ) ^ 2 ) )
91	45	resqcli 12949	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` B ) ^ 2 ) e. RR
92	45	sqge0i 12951	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( ( N ` B ) ^ 2 )
93	91, 92	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` B ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( N ` B ) ^ 2 ) )
94	43, 83, 93	3pm3.2i 1239	. . . . . 6 |- ( ( C x. ( A P B ) ) e. RR /\ ( ( N ` A ) ^ 2 ) e. RR /\ ( ( ( N ` B ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
95		lemul1a 10877	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C x. ( A P B ) ) e. RR /\ ( ( N ` A ) ^ 2 ) e. RR /\ ( ( ( N ` B ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) /\ ( C x. ( A P B ) ) <_ ( ( N ` A ) ^ 2 ) ) -> ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
96	94, 95	mpan 706	. . . . 5 |- ( ( C x. ( A P B ) ) <_ ( ( N ` A ) ^ 2 ) -> ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
97	90, 96	syl 17	. . . 4 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
98	38, 46	sqmuli 12947	. . . 4 |- ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( N ` A ) ^ 2 ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) )
99	97, 98	syl6breqr 4695	. . 3 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) )
100		sii1.z	. . . . 5 |- 0 <_ ( C x. ( A P B ) )
101	43, 91	mulge0i 10575	. . . . 5 |- ( ( 0 <_ ( C x. ( A P B ) ) /\ 0 <_ ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> 0 <_ ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
102	100, 92, 101	mp2an 708	. . . 4 |- 0 <_ ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) )
103	37, 45	remulcli 10054	. . . . 5 |- ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) e. RR
104	103	sqge0i 12951	. . . 4 |- 0 <_ ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 )
105	43, 91	remulcli 10054	. . . . 5 |- ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) e. RR
106	103	resqcli 12949	. . . . 5 |- ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) e. RR
107	105, 106	sqrtlei 14128	. . . 4 |- ( ( 0 <_ ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) /\ 0 <_ ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) <-> ( sqr ` ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) ) ) )
108	102, 104, 107	mp2an 708	. . 3 |- ( ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) <-> ( sqr ` ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) ) )
109	99, 108	sylib 208	. 2 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( sqr ` ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) <_ ( sqr ` ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) ) )
110	1, 18	dipcl 27567	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A P B ) e. CC )
111	4, 5, 8, 110	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( A P B ) e. CC
112	6, 111	mulcomi 10046	. . . . 5 |- ( C x. ( A P B ) ) = ( ( A P B ) x. C )
113	112	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A P B ) x. C ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) )
114	91	recni 10052	. . . . 5 |- ( ( N ` B ) ^ 2 ) e. CC
115	111, 6, 114	mulassi 10049	. . . 4 |- ( ( ( A P B ) x. C ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( A P B ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
116	113, 115	eqtri 2644	. . 3 |- ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( A P B ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
117	116	fveq2i 6194	. 2 |- ( sqr ` ( ( C x. ( A P B ) ) x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` ( ( A P B ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) )
118	1, 2	nvge0 27528	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> 0 <_ ( N ` A ) )
119	4, 5, 118	mp2an 708	. . . 4 |- 0 <_ ( N ` A )
120	1, 2	nvge0 27528	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> 0 <_ ( N ` B ) )
121	4, 8, 120	mp2an 708	. . . 4 |- 0 <_ ( N ` B )
122	37, 45	mulge0i 10575	. . . 4 |- ( ( 0 <_ ( N ` A ) /\ 0 <_ ( N ` B ) ) -> 0 <_ ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) )
123	119, 121, 122	mp2an 708	. . 3 |- 0 <_ ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) )
124	103	sqrtsqi 14114	. . 3 |- ( 0 <_ ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) -> ( sqr ` ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) )
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 |- ( sqr ` ( ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) )
126	109, 117, 125	3brtr3g 4686	1 |- ( ( B P A ) = ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) -> ( sqr ` ( ( A P B ) x. ( C x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( ( N ` A ) x. ( N ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   ^cexp 12860   *ccj 13836   sqrcsqrt 13973   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   .iOLDcdip 27555   CPreHil OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ph 27668

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