Theorem ovn0lem 40779

Description: For any finite dimension, the Lebesgue outer measure of the empty set is zero. This is step (a)(ii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovn0lem.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ovn0lem.n0	|- ( ph -> X =/= (/) )
ovn0lem.m	|- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) }
ovn0lem.infm	|- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
ovn0lem.i	|- I = ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )

Assertion

Ref	Expression
ovn0lem	|- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) = 0 )

Distinct variable groups:   i, I, j, k   I, l, j, k   i, X, j, k, z   X, l   ph, j, k, l

Allowed substitution hints:   ph( z, i)   I( z)   M( z, i, j, k, l)

Proof of Theorem ovn0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12256	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		ovn0lem.infm	. . 3 |- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) e. RR* )
4		0xr 10086	. . 3 |- 0 e. RR*
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 0 e. RR* )
6		ovn0lem.m	. . . . 5 |- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) }
7		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) } C_ RR*
8	6, 7	eqsstri 3635	. . . 4 |- M C_ RR*
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> M C_ RR* )
10		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
11		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
12	10, 11	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR /\ 0 e. RR )
13		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. 1 , 0 >. e. ( RR X. RR ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 e. RR ) )
14	12, 13	mpbir 221	. . . . . . . . . . . 12 |- <. 1 , 0 >. e. ( RR X. RR )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ l e. X ) -> <. 1 , 0 >. e. ( RR X. RR ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) = ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. )
17	15, 16	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
18		reex 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
19	18, 18	xpex 6962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR X. RR ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR X. RR ) e. _V )
21		ovn0lem.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. Fin )
22		elmapg 7870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
23	20, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
24	17, 23	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
26		ovn0lem.i	. . . . . . . 8 |- I = ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )
27	25, 26	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
28		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V )
29		nnex 11026	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> NN e. _V )
31		elmapg 7870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V /\ NN e. _V ) -> ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) ) )
33	27, 32	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
34		ovn0lem.n0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X =/= (/) )
35		n0 3931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X =/= (/) <-> E. l l e. X )
36	34, 35	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. l l e. X )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> E. l l e. X )
38		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X )
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) )
40	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> X e. Fin )
41	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
42		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) -> ( I ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( I ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> k e. X )
46	44, 45	fvovco 39381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( I ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( I ` j ) ` k ) ) ) )
47		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
48	25	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. _V )
49	26	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. NN /\ ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) e. _V ) -> ( I ` j ) = ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) = ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( I ` j ) = ( l e. X |-> <. 1 , 0 >. ) )
52		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ l = k ) -> <. 1 , 0 >. = <. 1 , 0 >. )
53	14	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- <. 1 , 0 >. e. _V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> <. 1 , 0 >. e. _V )
55	51, 52, 45, 54	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( I ` j ) ` k ) = <. 1 , 0 >. )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = ( 1st ` <. 1 , 0 >. ) )
57	10	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. _V
58	4	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. _V
59	57, 58	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1st ` <. 1 , 0 >. ) = 1
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. 1 , 0 >. ) = 1 )
61	56, 60	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = 1 )
62	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. 1 , 0 >. ) )
63	57, 58	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2nd ` <. 1 , 0 >. ) = 0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. 1 , 0 >. ) = 0 )
65	62, 64	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = 0 )
66	61, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( I ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( I ` j ) ` k ) ) ) = ( 1 [,) 0 ) )
67		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 <_ 1
68	10	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR*
69		ico0 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1 e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( 1 [,) 0 ) = (/) <-> 0 <_ 1 ) )
70	68, 4, 69	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 [,) 0 ) = (/) <-> 0 <_ 1 )
71	67, 70	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 [,) 0 ) = (/)
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 [,) 0 ) = (/) )
73	46, 66, 72	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = (/) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` (/) ) )
75		vol0 40175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( vol ` (/) ) = 0
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` (/) ) = 0 )
77	74, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
78		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. CC
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> 0 e. CC )
80	77, 79	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) e. CC )
81	80	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) e. CC )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = l -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) ) )
84		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> l e. X )
85		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = l -> ( k e. X <-> l e. X ) )
86	85	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) <-> ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) ) )
87	83	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 <-> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) ) = 0 ) )
88	86, 87	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 ) <-> ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) ) = 0 ) ) )
89	88, 77	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` l ) ) = 0 )
90	38, 39, 40, 81, 83, 84, 89	fprod0 39828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ l e. X ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
91	90	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( l e. X -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 ) )
92	91	exlimdv 1861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( E. l l e. X -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 ) )
93	37, 92	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
94	93	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> 0 ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> 0 ) ) )
96		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ j ph
97	96, 30	sge0z 40592	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 0 ) ) = 0 )
98		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 = 0 )
99	95, 97, 98	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
100		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = I -> ( i ` j ) = ( I ` j ) )
101	100	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = I -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( I ` j ) ) )
102	101	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = I -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
104	103	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
105	104	prodeq2d 14652	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
106	105	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
108	107	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
109	108	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
110	33, 99, 109	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
111	5, 110	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
112		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( z = 0 -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
113	112	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( z = 0 -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
114	113, 6	elrab2 3366	. . . 4 |- ( 0 e. M <-> ( 0 e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) 0 = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
115	111, 114	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> 0 e. M )
116		infxrlb 12164	. . 3 |- ( ( M C_ RR* /\ 0 e. M ) -> inf ( M , RR* , < ) <_ 0 )
117	9, 115, 116	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) <_ 0 )
118		pnfxr 10092	. . . 4 |- +oo e. RR*
119	118	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> +oo e. RR* )
120		iccgelb 12230	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ inf ( M , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ inf ( M , RR* , < ) )
121	5, 119, 2, 120	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> 0 <_ inf ( M , RR* , < ) )
122	3, 5, 117, 121	xrletrid 11986	1 |- ( ph -> inf ( M , RR* , < ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  ovn0  40780