ovncvrrp - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem ovncvrrp 40778

Description: The Lebesgue outer measure of a subset of multidimensional real numbers can always be approximated by the total outer measure of a cover of half-open (multidimensional) intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ovncvrrp.x
ovncvrrp.n0
ovncvrrp.a
ovncvrrp.e
ovncvrrp.c
ovncvrrp.l
ovncvrrp.d	Σ^{^} voln^*

**Assertion**
Ref	Expression
ovncvrrp

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem ovncvrrp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovncvrrp.x	. . . 4
2		ovncvrrp.n0	. . . 4
3		ovncvrrp.a	. . . 4
4		ovncvrrp.e	. . . 4
5		eqid 2622	. . . 4 $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
6	1, 2, 3, 4, 5	ovnlerp 40776	. . 3 $/\$ Σ^{^} voln^*
7		simp1 1061	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ voln^*
8		simp3 1063	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ voln^* voln^*
9		rabid 3116	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ Σ^{^}
10	9	biimpi 206	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ Σ^{^}
11	10	simprd 479	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ Σ^{^} $/\$ voln^* $/\$ Σ^{^}
13	12	3adant1 1079	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ voln^* $/\$ Σ^{^}
14		nfv 1843	. . . . . . . 8 $/\$ voln^*
15		nfe1 2027	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^{^} voln^*
16		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
17		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
18		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
20		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
21	20	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22	21	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24	23	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25	24	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16
26	25	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
27	19, 26	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
28	27	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
29		ovncvrrp.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32	31	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
34		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35	34, 3	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38	3, 37	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40	39	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	30, 33, 38, 41	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	42	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
45	28, 44	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
46	16, 17, 18, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
47		ovncvrrp.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
49		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
50	49	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52	51	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
57	55, 56	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
58		prodex 14637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
60	48, 53, 57, 59	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
61	60	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
64		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ^{^} Σ^{^}
65	64	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
67	63, 66	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
68	67	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 voln^* $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
69		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 voln^* $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^*
70	68, 69	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 voln^* $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^} voln^*
71	70	3adant1l 1318	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^} voln^*
72	71	3adant3l 1322	. . . . . . . . . . 11 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^} voln^*
73	46, 72	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^} voln^*
74		19.8a 2052	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^} voln^*
76	75	3exp 1264	. . . . . . . 8 $/\$ voln^* $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^} voln^*
77	14, 15, 76	rexlimd 3026	. . . . . . 7 $/\$ voln^* $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^} voln^*
78	77	imp 445	. . . . . 6 $/\$ voln^* $/\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^} voln^*
79	7, 8, 13, 78	syl21anc 1325	. . . . 5 $/\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
80	79	3exp 1264	. . . 4 $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
81	80	rexlimdv 3030	. . 3 $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
82	6, 81	mpd 15	. 2 $/\$ Σ^{^} voln^*
83		rabid 3116	. . . . . . . 8 Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
84	83	bicomi 214	. . . . . . 7 $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
85	84	biimpi 206	. . . . . 6 $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
86	85	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
87		ovncvrrp.d	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} voln^*
88		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} voln^*
89		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12
90		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} voln^*
91		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15
92	29, 91	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14
93		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14
94	92, 93	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13
95	90, 94	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} voln^*
96	89, 95	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} voln^*
97		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
98	97	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 voln^* voln^*
100	99	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 voln^* voln^*
101	100	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
102	98, 101	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
103	102	rabbidva2 3186	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
104	103	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
105	88, 96, 104	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
106	87, 105	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 Σ^{^} voln^*
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
108		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12
110		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 voln^* voln^*
111	110	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 voln^* voln^*
112	111	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
113	109, 112	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
114	113	rabbidva2 3186	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
115	114	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
116	115	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
117	38	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^*
118		rpex 39562	. . . . . . . . . 10
119	118	mptex 6486	. . . . . . . . 9 Σ^{^} voln^*
120	119	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
121	107, 116, 117, 120	fvmptd 6288	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
122		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 voln^* voln^*
123	122	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
124	123	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
125	124	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
126	4	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^*
127		fvex 6201	. . . . . . . . 9
128	127	rabex 4813	. . . . . . . 8 Σ^{^} voln^*
129	128	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
130	121, 125, 126, 129	fvmptd 6288	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
131	130	eqcomd 2628	. . . . 5 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
132	86, 131	eleqtrd 2703	. . . 4 $/\$ $/\$ Σ^{^} voln^*
133	132	ex 450	. . 3 $/\$ Σ^{^} voln^*
134	133	eximdv 1846	. 2 $/\$ Σ^{^} voln^*
135	82, 134	mpd 15	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

ccom 5118

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

cixp 7908

cfn 7955

cr 9935

cxr 10073

cle 10075

cn 11020

crp 11832

cxad 11944

cico 12177

cprod 14635

cvol 23232 Σ^{^}csumge0 40579 voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-prod 14636 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-rest 16083 df-0g 16102 df-topgen 16104 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-subg 17591 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-drng 18749 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-sumge0 40580 df-ovoln 40751

This theorem is referenced by: ovnsubaddlem2 40785 hspmbllem3 40842

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