Theorem sge0z 40592

Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0z.1	|- F/ k ph
sge0z.2	|- ( ph -> A e. V )

Assertion

Ref	Expression
sge0z	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> 0 ) ) = 0 )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   V( k)

Proof of Theorem sge0z

Dummy variables x y B are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0z.2	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		sge0z.1	. . . 4 |- F/ k ph
3		0e0icopnf 12282	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. A |-> 0 ) = ( k e. A |-> 0 )
6	2, 4, 5	fmptdf 6387	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> 0 ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
7	1, 6	sge0reval 40589	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> 0 ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) ) , RR* , < ) )
8		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( k e. A |-> 0 ) = ( k e. A |-> 0 ) )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. x ) /\ k = y ) -> 0 = 0 )
11		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. x ) -> x C_ A )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. x )
14	12, 13	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. A )
15		0cnd 10033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. x ) -> 0 e. CC )
16	8, 10, 14, 15	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) = 0 )
17	16	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) = 0 )
18	17	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) = sum_ y e. x 0 )
19		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
20		olc 399	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> ( x C_ ( ZZ>= ` B ) \/ x e. Fin ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( x C_ ( ZZ>= ` B ) \/ x e. Fin ) )
22		sumz 14453	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( ZZ>= ` B ) \/ x e. Fin ) -> sum_ y e. x 0 = 0 )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> sum_ y e. x 0 = 0 )
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x 0 = 0 )
25	18, 24	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) = 0 )
26	25	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> 0 ) )
27	26	rneqd 5353	. . . 4 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) ) = ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> 0 ) )
28		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> 0 ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> 0 )
29		0cnd 10033	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. CC )
30		pwfin0 39231	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) =/= (/)
31	30	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) )
32	28, 29, 31	rnmptc 39353	. . . 4 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } )
33	27, 32	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) ) = { 0 } )
34	33	supeq1d 8352	. 2 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( k e. A |-> 0 ) ` y ) ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < ) )
35		xrltso 11974	. . . 4 |- < Or RR*
36	35	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> < Or RR* )
37		0xr 10086	. . . 4 |- 0 e. RR*
38	37	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR* )
39		supsn 8378	. . 3 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
40	36, 38, 39	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
41	7, 34, 40	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> 0 ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   ZZ>=cuz 11687   [,)cico 12177   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0ss  40629  ismeannd  40684  0ome  40743  isomenndlem  40744  ovn0lem  40779  vonct  40907