Theorem ovolsca 23283

Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	|- ( ph -> A C_ RR )
ovolsca.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
ovolsca.3	|- ( ph -> B = { x e. RR | ( C x. x ) e. A } )
ovolsca.4	|- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ovolsca	|- ( ph -> ( vol* ` B ) = ( ( vol* ` A ) / C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)

Proof of Theorem ovolsca

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		ovolsca.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		ovolsca.3	. . 3 |- ( ph -> B = { x e. RR | ( C x. x ) e. A } )
4		ovolsca.4	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR )
5	1, 2, 3, 4	ovolscalem2 23282	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` B ) <_ ( ( vol* ` A ) / C ) )
6	4	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. CC )
7	2	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
8	2	rpne0d 11877	. . . 4 |- ( ph -> C =/= 0 )
9	6, 7, 8	divrecd 10804	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) / C ) = ( ( vol* ` A ) x. ( 1 / C ) ) )
10		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { x e. RR | ( C x. x ) e. A } C_ RR
11	3, 10	syl6eqss 3655	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ RR )
12	2	rpreccld 11882	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. RR+ )
13	1, 2, 3	sca2rab 23280	. . . . 5 |- ( ph -> A = { y e. RR | ( ( 1 / C ) x. y ) e. B } )
14	4, 2	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) / C ) e. RR )
15		ovollecl 23251	. . . . . 6 |- ( ( B C_ RR /\ ( ( vol* ` A ) / C ) e. RR /\ ( vol* ` B ) <_ ( ( vol* ` A ) / C ) ) -> ( vol* ` B ) e. RR )
16	11, 14, 5, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` B ) e. RR )
17	11, 12, 13, 16	ovolscalem2 23282	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( ( vol* ` B ) / ( 1 / C ) ) )
18	4, 16, 12	lemuldivd 11921	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( vol* ` A ) x. ( 1 / C ) ) <_ ( vol* ` B ) <-> ( vol* ` A ) <_ ( ( vol* ` B ) / ( 1 / C ) ) ) )
19	17, 18	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) x. ( 1 / C ) ) <_ ( vol* ` B ) )
20	9, 19	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) / C ) <_ ( vol* ` B ) )
21	16, 14	letri3d 10179	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` B ) = ( ( vol* ` A ) / C ) <-> ( ( vol* ` B ) <_ ( ( vol* ` A ) / C ) /\ ( ( vol* ` A ) / C ) <_ ( vol* ` B ) ) ) )
22	5, 20, 21	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( vol* ` B ) = ( ( vol* ` A ) / C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ovol 23233

This theorem is referenced by: (None)