Theorem pcmpt2 15597

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )
pcmpt2.6	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
4	2, 3	pcmptcl 15595	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
5	4	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
6		pcmpt.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
8		eluznn 11758	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
10	5, 9	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
11	10	nnzd 11481	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ )
12	10	nnne0d 11065	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 )
13	5, 6	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN )
14		pcdiv 15557	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 ) /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1331	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) )
16		pcmpt.5	. . . 4 |- ( n = P -> A = B )
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 15596	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 15596	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
19	17, 18	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) - ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
20	16	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
21	20	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> B e. NN0 ) )
22	1, 3, 21	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN0 )
23	22	nn0cnd 11353	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
24	23	subidd 10380	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - B ) = 0 )
25	24	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( B - B ) = 0 )
26		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
27	1, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
28	27	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P e. RR )
30	6	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N e. RR )
32	9	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> M e. RR )
34		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ N )
35		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ M )
36	7, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ M )
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> N <_ M )
38	29, 31, 33, 34, 37	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> P <_ M )
39	38	iftrued 4094	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = B )
40		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
41	40	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( P <_ N , B , 0 ) = B )
42	39, 41	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( B - B ) )
43		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
44	43, 34	nsyl3 133	. . . . 5 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> -. ( P <_ M /\ -. P <_ N ) )
45	44	iffalsed 4097	. . . 4 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) = 0 )
46	25, 42, 45	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
47		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. P <_ N -> if ( P <_ N , B , 0 ) = 0 )
48	47	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( -. P <_ N -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) )
49		0cn 10032	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
50		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) e. CC )
51	23, 49, 50	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( P <_ M , B , 0 ) e. CC )
52	51	subid1d 10381	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - 0 ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
53	48, 52	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( P <_ M , B , 0 ) )
54		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> -. P <_ N )
55	54	biantrud 528	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( P <_ M <-> ( P <_ M /\ -. P <_ N ) ) )
56	55	ifbid 4108	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> if ( P <_ M , B , 0 ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
57	53, 56	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ -. P <_ N ) -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
58	46, 57	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> ( if ( P <_ M , B , 0 ) - if ( P <_ N , B , 0 ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )
59	15, 19, 58	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) ) = if ( ( P <_ M /\ -. P <_ N ) , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ^cexp 12860   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  15598  bposlem6  25014