Theorem bposlem6 25014

Description: Lemma for bpos 25018. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for N large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Wolf Lammen, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
bpos.5	|- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem6	|- ( ph -> ( ( 4 ^ N ) / N ) < ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   M, p   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hints:   F( n)   M( n)

Proof of Theorem bposlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 11187	. . . . 5 |- 4 e. NN
2		5nn 11188	. . . . . . 7 |- 5 e. NN
3		bpos.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
4		eluznn 11758	. . . . . . 7 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6	5	nnnn0d 11351	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
7		nnexpcl 12873	. . . . 5 |- ( ( 4 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 4 ^ N ) e. NN )
8	1, 6, 7	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( 4 ^ N ) e. NN )
9	8	nnred 11035	. . 3 |- ( ph -> ( 4 ^ N ) e. RR )
10	9, 5	nndivred 11069	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 ^ N ) / N ) e. RR )
11		fzctr 12451	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
12	6, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
13		bccl2 13110	. . . 4 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
15	14	nnred 11035	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. RR )
16		2nn 11185	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
17		nnmulcl 11043	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
18	16, 5, 17	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
19	18	nnrpd 11870	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
20	18	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
21	19	rpge0d 11876	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
22	20, 21	resqrtcld 14156	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
23		3nn 11186	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
24		nndivre 11056	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
25	22, 23, 24	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
26		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
27		readdcl 10019	. . . . . 6 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
28	25, 26, 27	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
29	19, 28	rpcxpcld 24476	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) e. RR+ )
30	29	rpred 11872	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) e. RR )
31		2rp 11837	. . . . 5 |- 2 e. RR+
32		nnmulcl 11043	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 4 x. N ) e. NN )
33	1, 5, 32	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 x. N ) e. NN )
34	33	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. N ) e. RR )
35		nndivre 11056	. . . . . . 7 |- ( ( ( 4 x. N ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( 4 x. N ) / 3 ) e. RR )
36	34, 23, 35	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 4 x. N ) / 3 ) e. RR )
37		5re 11099	. . . . . 6 |- 5 e. RR
38		resubcl 10345	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) e. RR /\ 5 e. RR ) -> ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) e. RR )
39	36, 37, 38	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) e. RR )
40		rpcxpcl 24422	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) e. RR+ )
41	31, 39, 40	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) e. RR+ )
42	41	rpred 11872	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) e. RR )
43	30, 42	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) ) e. RR )
44		df-5 11082	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
45		4z 11411	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
46		uzid 11702	. . . . . 6 |- ( 4 e. ZZ -> 4 e. ( ZZ>= ` 4 ) )
47		peano2uz 11741	. . . . . 6 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ( 4 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 4 ) )
48	45, 46, 47	mp2b 10	. . . . 5 |- ( 4 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 4 )
49	44, 48	eqeltri 2697	. . . 4 |- 5 e. ( ZZ>= ` 4 )
50		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` 4 ) = ( ZZ>= ` 4 )
51	50	uztrn2 11705	. . . 4 |- ( ( 5 e. ( ZZ>= ` 4 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 4 ) )
52	49, 3, 51	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 4 ) )
53		bclbnd 25005	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ( ( 4 ^ N ) / N ) < ( ( 2 x. N ) _C N ) )
54	52, 53	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 ^ N ) / N ) < ( ( 2 x. N ) _C N ) )
55		bpos.3	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
56		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Prime -> n e. Prime )
57		pccl 15554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
58	56, 14, 57	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
59	58	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
60	55, 59	pcmptcl 15595	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
61	60	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
62		bpos.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
63		bpos.4	. . . . . . . . 9 |- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
64		bpos.5	. . . . . . . . 9 |- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
65	3, 62, 55, 63, 64	bposlem4 25012	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( 3 ... K ) )
66		elfzuz 12338	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 3 ... K ) -> M e. ( ZZ>= ` 3 ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 3 ) )
68		eluznn 11758	. . . . . . 7 |- ( ( 3 e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> M e. NN )
69	23, 67, 68	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
70	61, 69	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
71	70	nnred 11035	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR )
72		2z 11409	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
73		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
74	20, 23, 73	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
75	74	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ZZ )
76	63, 75	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
77		zmulcl 11426	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( 2 x. K ) e. ZZ )
78	72, 76, 77	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. ZZ )
79	2	nnzi 11401	. . . . . . . 8 |- 5 e. ZZ
80		zsubcl 11419	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. K ) e. ZZ /\ 5 e. ZZ ) -> ( ( 2 x. K ) - 5 ) e. ZZ )
81	78, 79, 80	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 5 ) e. ZZ )
82	81	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 5 ) e. RR )
83		rpcxpcl 24422	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( ( 2 x. K ) - 5 ) e. RR ) -> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) e. RR+ )
84	31, 82, 83	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) e. RR+ )
85	84	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) e. RR )
86	71, 85	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) e. RR )
87	3, 62, 55, 63	bposlem3 25011	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) = ( ( 2 x. N ) _C N ) )
88		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 3 ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
89	65, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
90	55, 59, 69, 89	pcmptdvds 15598	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) || ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) )
91	70	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ )
92	70	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 )
93		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 3 ) )
94	89, 67, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 3 ) )
95		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> K e. NN )
96	23, 94, 95	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. NN )
97	61, 96	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. NN )
98	97	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. ZZ )
99		dvdsval2 14986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. ZZ ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) || ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) e. ZZ ) )
100	91, 92, 98, 99	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) || ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) e. ZZ ) )
101	90, 100	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) e. ZZ )
102	101	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) e. RR )
103	69	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
104	76	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. RR )
105		eluzle 11700	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
106	89, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M <_ K )
107		efchtdvds 24885	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ M <_ K ) -> ( exp ` ( theta ` M ) ) || ( exp ` ( theta ` K ) ) )
108	103, 104, 106, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` M ) ) || ( exp ` ( theta ` K ) ) )
109		efchtcl 24837	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. RR -> ( exp ` ( theta ` M ) ) e. NN )
110	103, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` M ) ) e. NN )
111	110	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` M ) ) e. ZZ )
112	110	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` M ) ) =/= 0 )
113		efchtcl 24837	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. RR -> ( exp ` ( theta ` K ) ) e. NN )
114	104, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` K ) ) e. NN )
115	114	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` K ) ) e. ZZ )
116		dvdsval2 14986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( exp ` ( theta ` M ) ) e. ZZ /\ ( exp ` ( theta ` M ) ) =/= 0 /\ ( exp ` ( theta ` K ) ) e. ZZ ) -> ( ( exp ` ( theta ` M ) ) || ( exp ` ( theta ` K ) ) <-> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. ZZ ) )
117	111, 112, 115, 116	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` M ) ) || ( exp ` ( theta ` K ) ) <-> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. ZZ ) )
118	108, 117	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. ZZ )
119	118	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. RR )
120		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
121		fllt 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ p e. ZZ ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) < p <-> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) < p ) )
122	22, 120, 121	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) < p <-> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) < p ) )
123	64	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M < p <-> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) < p )
124	122, 123	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) < p <-> M < p ) )
125	120	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
126		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. RR /\ p e. RR ) -> ( M < p <-> -. p <_ M ) )
127	103, 125, 126	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M < p <-> -. p <_ M ) )
128	124, 127	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) < p <-> -. p <_ M ) )
129		bposlem1 25009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
130	5, 129	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
131	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. RR )
132		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
133		pccl 15554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( p e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
134	132, 14, 133	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
135	131, 134	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) e. RR )
136	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
137	131	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p ^ 2 ) e. RR )
138		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( p ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) /\ ( 2 x. N ) < ( p ^ 2 ) ) -> ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) < ( p ^ 2 ) ) )
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) /\ ( 2 x. N ) < ( p ^ 2 ) ) -> ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) < ( p ^ 2 ) ) )
140	130, 139	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) < ( p ^ 2 ) -> ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) < ( p ^ 2 ) ) )
141		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. N ) )
142	20, 21, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. N ) )
143	142	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ^ 2 ) < ( p ^ 2 ) <-> ( 2 x. N ) < ( p ^ 2 ) ) )
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ^ 2 ) < ( p ^ 2 ) <-> ( 2 x. N ) < ( p ^ 2 ) ) )
145	134	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. ZZ )
146	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> 2 e. ZZ )
147		prmgt1 15409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. Prime -> 1 < p )
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> 1 < p )
149	131, 145, 146, 148	ltexp2d 13038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) < 2 <-> ( p ^ ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) < ( p ^ 2 ) ) )
150	140, 144, 149	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ^ 2 ) < ( p ^ 2 ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) < 2 ) )
151		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 = ( 1 + 1 )
152	151	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) < 2 <-> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) < ( 1 + 1 ) )
153	150, 152	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ^ 2 ) < ( p ^ 2 ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
154	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
155	20, 21	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
157		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
158	157	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p e. Prime -> p e. RR+ )
159	158	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> 0 <_ p )
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> 0 <_ p )
161	154, 131, 156, 160	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) < p <-> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ^ 2 ) < ( p ^ 2 ) ) )
162		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ZZ
163		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) <_ 1 <-> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
164	145, 162, 163	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) <_ 1 <-> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
165	153, 161, 164	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) < p -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) <_ 1 ) )
166	128, 165	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( -. p <_ M -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) <_ 1 ) )
167	166	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. p <_ M ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) <_ 1 )
168	167	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( p <_ K /\ -. p <_ M ) ) -> ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) <_ 1 )
169		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
170	169	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( p <_ K /\ -. p <_ M ) ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
171		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) = 1 )
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( p <_ K /\ -. p <_ M ) ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) = 1 )
173	168, 170, 172	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( p <_ K /\ -. p <_ M ) ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) <_ if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) )
174		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
175		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( p <_ K /\ -. p <_ M ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) = 0 )
176		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( p <_ K /\ -. p <_ M ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) = 0 )
177	175, 176	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( p <_ K /\ -. p <_ M ) -> ( if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) <_ if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) <-> 0 <_ 0 ) )
178	174, 177	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( p <_ K /\ -. p <_ M ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) <_ if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) )
179	178	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ -. ( p <_ K /\ -. p <_ M ) ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) <_ if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) )
180	173, 179	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) <_ if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) )
181	59	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
182	69	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> M e. NN )
183		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
184		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
185	89	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
186	55, 181, 182, 183, 184, 185	pcmpt2 15597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) ) = if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , ( p pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) , 0 ) )
187		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) )
188	187	prmorcht 24904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN -> ( exp ` ( theta ` K ) ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` K ) )
189	96, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` K ) ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` K ) )
190	187	prmorcht 24904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> ( exp ` ( theta ` M ) ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` M ) )
191	69, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` M ) ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` M ) )
192	189, 191	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` M ) ) )
193	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` M ) ) )
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) = ( p pCnt ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` M ) ) ) )
195		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. CC )
196	195	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( n ^ 1 ) = n )
197	196	ifeq1d 4104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> if ( n e. Prime , ( n ^ 1 ) , 1 ) = if ( n e. Prime , n , 1 ) )
198	197	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ 1 ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) )
199	198	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ 1 ) , 1 ) )
200		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN0
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> 1 e. NN0 )
202	201	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. n e. Prime 1 e. NN0 )
203	202	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> A. n e. Prime 1 e. NN0 )
204		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> 1 = 1 )
205	199, 203, 182, 183, 204, 185	pcmpt2 15597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , n , 1 ) ) ) ` M ) ) ) = if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) )
206	194, 205	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) = if ( ( p <_ K /\ -. p <_ M ) , 1 , 0 ) )
207	180, 186, 206	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) ) <_ ( p pCnt ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) )
208	207	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) ) <_ ( p pCnt ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) )
209		pc2dvds 15583	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) e. ZZ /\ ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) || ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) ) <_ ( p pCnt ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) ) )
210	101, 118, 209	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) || ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) ) <_ ( p pCnt ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) ) )
211	208, 210	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) || ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) )
212	114	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` K ) ) e. RR )
213	110	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` M ) ) e. RR )
214	114	nngt0d 11064	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( exp ` ( theta ` K ) ) )
215	110	nngt0d 11064	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( exp ` ( theta ` M ) ) )
216	212, 213, 214, 215	divgt0d 10959	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) )
217		elnnz 11387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. NN <-> ( ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. ZZ /\ 0 < ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) )
218	118, 216, 217	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. NN )
219		dvdsle 15032	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) e. ZZ /\ ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) e. NN ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) || ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) <_ ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) )
220	101, 218, 219	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) || ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) <_ ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) ) )
221	211, 220	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) <_ ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) )
222		nndivre 11056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( exp ` ( theta ` K ) ) e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / 4 ) e. RR )
223	212, 1, 222	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / 4 ) e. RR )
224		4re 11097	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
225	224	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 4 e. RR )
226		6re 11101	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR
227	226	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 6 e. RR )
228		4lt6 11205	. . . . . . . . . 10 |- 4 < 6
229	228	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 4 < 6 )
230		cht3 24899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( theta ` 3 ) = ( log ` 6 )
231	230	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( exp ` ( theta ` 3 ) ) = ( exp ` ( log ` 6 ) )
232		6pos 11119	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 6
233	226, 232	elrpii 11835	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. RR+
234		reeflog 24327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 e. RR+ -> ( exp ` ( log ` 6 ) ) = 6 )
235	233, 234	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( exp ` ( log ` 6 ) ) = 6
236	231, 235	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( exp ` ( theta ` 3 ) ) = 6
237		3re 11094	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 3 e. RR )
239		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ M )
240	67, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 3 <_ M )
241		chtwordi 24882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 e. RR /\ M e. RR /\ 3 <_ M ) -> ( theta ` 3 ) <_ ( theta ` M ) )
242	238, 103, 240, 241	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( theta ` 3 ) <_ ( theta ` M ) )
243		chtcl 24835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. RR -> ( theta ` 3 ) e. RR )
244	237, 243	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( theta ` 3 ) e. RR
245		chtcl 24835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. RR -> ( theta ` M ) e. RR )
246	103, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( theta ` M ) e. RR )
247		efle 14848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( theta ` 3 ) e. RR /\ ( theta ` M ) e. RR ) -> ( ( theta ` 3 ) <_ ( theta ` M ) <-> ( exp ` ( theta ` 3 ) ) <_ ( exp ` ( theta ` M ) ) ) )
248	244, 246, 247	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( theta ` 3 ) <_ ( theta ` M ) <-> ( exp ` ( theta ` 3 ) ) <_ ( exp ` ( theta ` M ) ) ) )
249	242, 248	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` 3 ) ) <_ ( exp ` ( theta ` M ) ) )
250	236, 249	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 6 <_ ( exp ` ( theta ` M ) ) )
251	225, 227, 213, 229, 250	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 4 < ( exp ` ( theta ` M ) ) )
252		4pos 11116	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 4
253	252	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < 4 )
254		ltdiv2 10909	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) /\ ( ( exp ` ( theta ` M ) ) e. RR /\ 0 < ( exp ` ( theta ` M ) ) ) /\ ( ( exp ` ( theta ` K ) ) e. RR /\ 0 < ( exp ` ( theta ` K ) ) ) ) -> ( 4 < ( exp ` ( theta ` M ) ) <-> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) < ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / 4 ) ) )
255	225, 253, 213, 215, 212, 214, 254	syl222anc 1342	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 < ( exp ` ( theta ` M ) ) <-> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) < ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / 4 ) ) )
256	251, 255	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) < ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / 4 ) )
257	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. RR )
258		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 < 3
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 < 3 )
260	238, 103, 104, 240, 106	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 3 <_ K )
261	257, 238, 104, 259, 260	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 < K )
262		chtub 24937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. RR /\ 2 < K ) -> ( theta ` K ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) )
263	104, 261, 262	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( theta ` K ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) )
264		chtcl 24835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. RR -> ( theta ` K ) e. RR )
265	104, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( theta ` K ) e. RR )
266		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. RR+ -> ( log ` 2 ) e. RR )
267	31, 266	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` 2 ) e. RR
268	23	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. ZZ
269		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. K ) e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. ZZ )
270	78, 268, 269	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. ZZ )
271	270	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. RR )
272		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. RR ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) e. RR )
273	267, 271, 272	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) e. RR )
274		eflt 14847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( theta ` K ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) e. RR ) -> ( ( theta ` K ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) <-> ( exp ` ( theta ` K ) ) < ( exp ` ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) ) ) )
275	265, 273, 274	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( theta ` K ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) <-> ( exp ` ( theta ` K ) ) < ( exp ` ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) ) ) )
276	263, 275	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` K ) ) < ( exp ` ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) ) )
277		reexplog 24341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( exp ` ( ( ( 2 x. K ) - 3 ) x. ( log ` 2 ) ) ) )
278	31, 270, 277	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( exp ` ( ( ( 2 x. K ) - 3 ) x. ( log ` 2 ) ) ) )
279	270	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. CC )
280	267	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` 2 ) e. CC
281		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. CC /\ ( log ` 2 ) e. CC ) -> ( ( ( 2 x. K ) - 3 ) x. ( log ` 2 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) )
282	279, 280, 281	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 3 ) x. ( log ` 2 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) )
283	282	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( 2 x. K ) - 3 ) x. ( log ` 2 ) ) ) = ( exp ` ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) ) )
284	278, 283	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( exp ` ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) ) )
285	276, 284	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` K ) ) < ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) )
286		3p2e5 11160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 + 2 ) = 5
287	286	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 + 2 ) - 2 ) = ( 5 - 2 )
288		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. CC
289		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
290	288, 289	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 + 2 ) - 2 ) = 3
291	287, 290	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 5 - 2 ) = 3
292	291	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. K ) - ( 5 - 2 ) ) = ( ( 2 x. K ) - 3 )
293	78	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. CC )
294		5cn 11100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. CC
295		subsub 10311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. K ) e. CC /\ 5 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 2 x. K ) - ( 5 - 2 ) ) = ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) + 2 ) )
296	294, 289, 295	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. K ) e. CC -> ( ( 2 x. K ) - ( 5 - 2 ) ) = ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) + 2 ) )
297	293, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - ( 5 - 2 ) ) = ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) + 2 ) )
298	292, 297	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 3 ) = ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) + 2 ) )
299	298	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( 2 ^c ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) + 2 ) ) )
300		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
301		cxpexpz 24413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 /\ ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. ZZ ) -> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) )
302	289, 300, 301	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. K ) - 3 ) e. ZZ -> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) )
303	270, 302	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) )
304	81	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 5 ) e. CC )
305		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
306		cxpadd 24425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( ( 2 x. K ) - 5 ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 2 ^c ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) + 2 ) ) = ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. ( 2 ^c 2 ) ) )
307	305, 289, 306	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) e. CC -> ( 2 ^c ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) + 2 ) ) = ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. ( 2 ^c 2 ) ) )
308	304, 307	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ^c ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) + 2 ) ) = ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. ( 2 ^c 2 ) ) )
309	299, 303, 308	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. ( 2 ^c 2 ) ) )
310		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
311		cxpexp 24414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( 2 ^c 2 ) = ( 2 ^ 2 ) )
312	289, 310, 311	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^c 2 ) = ( 2 ^ 2 )
313		sq2 12960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
314	312, 313	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ^c 2 ) = 4
315	314	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. ( 2 ^c 2 ) ) = ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. 4 )
316	309, 315	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( 2 x. K ) - 3 ) ) = ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. 4 ) )
317	285, 316	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( theta ` K ) ) < ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. 4 ) )
318	224, 252	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. RR /\ 0 < 4 )
319	318	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) )
320		ltdivmul2 10900	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( exp ` ( theta ` K ) ) e. RR /\ ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / 4 ) < ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) <-> ( exp ` ( theta ` K ) ) < ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. 4 ) ) )
321	212, 85, 319, 320	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / 4 ) < ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) <-> ( exp ` ( theta ` K ) ) < ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) x. 4 ) ) )
322	317, 321	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / 4 ) < ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) )
323	119, 223, 85, 256, 322	lttrd 10198	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( exp ` ( theta ` K ) ) / ( exp ` ( theta ` M ) ) ) < ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) )
324	102, 119, 85, 221, 323	lelttrd 10195	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) < ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) )
325	97	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. RR )
326		nnre 11027	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR )
327		nngt0 11049	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN -> 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) )
328	326, 327	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) )
329	70, 328	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) )
330		ltdivmul 10898	. . . . . 6 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) e. RR /\ ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) < ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) < ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) ) )
331	325, 85, 329, 330	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) / ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) ) < ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) < ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) ) )
332	324, 331	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` K ) < ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) )
333	87, 332	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) < ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) )
334	30, 85	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) e. RR )
335	3, 62, 55, 63, 64	bposlem5 25013	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
336	71, 30, 84	lemul1d 11915	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) ) )
337	335, 336	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) )
338	78	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. RR )
339	37	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 5 e. RR )
340		flle 12600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
341	74, 340	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
342	63, 341	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
343		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
344	26, 343	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
345	344	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
346		lemul2 10876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. RR /\ ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( K <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) <-> ( 2 x. K ) <_ ( 2 x. ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
347	104, 74, 345, 346	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) <-> ( 2 x. K ) <_ ( 2 x. ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
348	342, 347	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. K ) <_ ( 2 x. ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
349	18	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. CC )
350		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 =/= 0
351	288, 350	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 )
352		divass 10703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 2 x. N ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. ( 2 x. N ) ) / 3 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
353	289, 351, 352	mp3an13 1415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( 2 x. ( 2 x. N ) ) / 3 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
354	349, 353	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 2 x. N ) ) / 3 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
355		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 2 ) = 4
356	355	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 4 x. N )
357	5	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
358		mulass 10024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 2 x. ( 2 x. N ) ) )
359	289, 289, 358	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 2 x. ( 2 x. N ) ) )
360	357, 359	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 2 x. ( 2 x. N ) ) )
361	356, 360	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) = ( 4 x. N ) )
362	361	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 2 x. N ) ) / 3 ) = ( ( 4 x. N ) / 3 ) )
363	354, 362	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) = ( ( 4 x. N ) / 3 ) )
364	348, 363	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. K ) <_ ( ( 4 x. N ) / 3 ) )
365	338, 36, 339, 364	lesub1dd 10643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) - 5 ) <_ ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) )
366		1lt2 11194	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
367	366	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < 2 )
368	257, 367, 82, 39	cxpled 24466	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) - 5 ) <_ ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) <-> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) <_ ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) ) )
369	365, 368	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) <_ ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) )
370	85, 42, 29	lemul2d 11916	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) <_ ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) <-> ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) ) ) )
371	369, 370	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) ) )
372	86, 334, 43, 337, 371	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) x. ( 2 ^c ( ( 2 x. K ) - 5 ) ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) ) )
373	15, 86, 43, 333, 372	ltletrd 10197	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) < ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) ) )
374	10, 15, 43, 54, 373	lttrd 10198	1 |- ( ph -> ( ( 4 ^ N ) / N ) < ( ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) x. ( 2 ^c ( ( ( 4 x. N ) / 3 ) - 5 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   _C cbc 13089   sqrcsqrt 13973   expce 14792   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   logclog 24301   ^c ccxp 24302   thetaccht 24817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-cht 24823  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  bposlem9  25017