Theorem pcmpt 15596

Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt	|- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.3	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
2		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
3	2	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( p = 1 -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) )
4		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( P <_ p <-> P <_ 1 ) )
5	4	ifbid 4108	. . . . 5 |- ( p = 1 -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
6	3, 5	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( p = 1 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) ) )
7	6	imbi2d 330	. . 3 |- ( p = 1 -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( p = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
9	8	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( p = k -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
10		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( p = k -> ( P <_ p <-> P <_ k ) )
11	10	ifbid 4108	. . . . 5 |- ( p = k -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ k , B , 0 ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( p = k -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) )
13	12	imbi2d 330	. . 3 |- ( p = k -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) )
16		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( P <_ p <-> P <_ ( k + 1 ) ) )
17	16	ifbid 4108	. . . . 5 |- ( p = ( k + 1 ) -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) )
18	15, 17	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
19	18	imbi2d 330	. . 3 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
20		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( p = N -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( p = N -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) )
22		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( p = N -> ( P <_ p <-> P <_ N ) )
23	22	ifbid 4108	. . . . 5 |- ( p = N -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
24	21, 23	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( p = N -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
25	24	imbi2d 330	. . 3 |- ( p = N -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) ) )
26		pcmpt.4	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
27		1z 11407	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
28		seq1 12814	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
30		1nn 11031	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
31		1nprm 15392	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 1 e. Prime
32		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
33	31, 32	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
34	33	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
35		pcmpt.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
36		1ex 10035	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
37	34, 35, 36	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
38	30, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( F ` 1 ) = 1
39	29, 38	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1
40	39	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = ( P pCnt 1 )
41		pc1 15560	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
42	40, 41	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = 0 )
43		prmgt1 15409	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
44		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
45		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
46		eluzelre 11698	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. RR )
48		ltnle 10117	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ P e. RR ) -> ( 1 < P <-> -. P <_ 1 ) )
49	44, 47, 48	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( 1 < P <-> -. P <_ 1 ) )
50	43, 49	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> -. P <_ 1 )
51	50	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> if ( P <_ 1 , B , 0 ) = 0 )
52	42, 51	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
53	26, 52	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
54	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P e. Prime )
55		pcmpt.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
56	35, 55	pcmptcl 15595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
57	56	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
58		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
59		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
60	57, 58, 59	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
61	60	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
62	54, 61	pccld 15555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. NN0 )
63	62	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
64	63	addid2d 10237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
65	58	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
66		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n ^ A ) e. _V
67	66, 36	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. _V
68	67	csbex 4793	. . . . . . . . . . . . 13 |- [_ ( k + 1 ) / n ]_ if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. _V
69	35	fvmpts 6285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ [_ ( k + 1 ) / n ]_ if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. _V ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = [_ ( k + 1 ) / n ]_ if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
70		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k + 1 ) e. _V
71		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n ( k + 1 ) e. Prime
72		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n ( k + 1 )
73		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n ^
74		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n [_ ( k + 1 ) / n ]_ A
75	72, 73, 74	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A )
76		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n 1
77	71, 75, 76	nfif 4115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 )
78		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
80		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / n ]_ A )
81	79, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ A ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
82	78, 81	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
83	70, 77, 82	csbief 3558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ ( k + 1 ) / n ]_ if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 )
84	69, 83	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ [_ ( k + 1 ) / n ]_ if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) e. _V ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
85	65, 68, 84	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
86		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) = P )
87	86, 54	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
88	87	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
89	86	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A = [_ P / n ]_ A )
90		nfcvd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Prime -> F/_ n B )
91		pcmpt.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = P -> A = B )
92	90, 91	csbiegf 3557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> [_ P / n ]_ A = B )
93	54, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ P / n ]_ A = B )
94	89, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A = B )
95	86, 94	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) = ( P ^ B ) )
96	85, 88, 95	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( P ^ B ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( P ^ B ) ) )
98	91	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
99	98	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> B e. NN0 ) )
100	26, 55, 99	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. NN0 )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> B e. NN0 )
102		pcidlem 15576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ B e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ B ) ) = B )
103	54, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( P ^ B ) ) = B )
104	64, 97, 103	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B )
105		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
106	105	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B <-> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
107	104, 106	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
108		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. RR )
109	108	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> k e. RR )
110		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. RR -> k < ( k + 1 ) )
111		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
112		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
113	111, 112	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. RR -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
114	110, 113	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. RR -> -. ( k + 1 ) <_ k )
115	109, 114	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
116	86	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( k + 1 ) <_ k <-> P <_ k ) )
117	115, 116	mtbid 314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> -. P <_ k )
118	117	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( P <_ k , B , 0 ) = 0 )
119	118	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 ) )
120		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
121		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
122	120, 121	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
123		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
125	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
126	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> P e. Prime )
127	56	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
128	127	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
129		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ )
130		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 )
131	129, 130	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) )
132	128, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) )
133		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
134		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 )
135	133, 134	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
136	60, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
137		pcmul 15556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
138	126, 132, 136, 137	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
139	125, 138	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
140	139	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
141		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
142	26, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
143	142	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. RR )
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P e. RR )
145	144	leidd 10594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P <_ P )
146	145, 86	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P <_ ( k + 1 ) )
147	146	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) = B )
148	140, 147	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) <-> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
149	107, 119, 148	3imtr4d 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
150	149	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) = P -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
151	139	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
152		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) =/= P )
153	152	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> P =/= ( k + 1 ) )
154	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )
155		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
156	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
157	74	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ n [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0
158	80	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( A e. NN0 <-> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) )
159	157, 158	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) )
160	155, 156, 159	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 )
161		prmdvdsexpr 15429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( k + 1 ) e. Prime /\ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) -> ( P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) -> P = ( k + 1 ) ) )
162	154, 155, 160, 161	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) -> P = ( k + 1 ) ) )
163	162	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P =/= ( k + 1 ) -> -. P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) ) )
164	153, 163	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> -. P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
165	58	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
166	165, 68, 84	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
167		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
168	166, 167	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
169	168	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P || ( F ` ( k + 1 ) ) <-> P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) ) )
170	164, 169	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) )
171	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> F : NN --> NN )
172	171, 165, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
174		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
175	154, 173, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
176	170, 175	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
177		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = 1 )
178	166, 177	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
179	178	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt 1 ) )
180	26, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
181	180	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
182	179, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
183	176, 182	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
184	183	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + 0 ) )
185	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. Prime )
186	128	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
187	185, 186	pccld 15555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) e. NN0 )
188	187	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) e. CC )
189	188	addid1d 10236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + 0 ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
190	151, 184, 189	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
191	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. NN )
192	191	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. RR )
193	165	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
194	192, 193	ltlend 10182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P < ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
195		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> k e. NN )
196		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN ) -> ( P <_ k <-> P < ( k + 1 ) ) )
197	191, 195, 196	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ k <-> P < ( k + 1 ) ) )
198		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) =/= P )
199	198	biantrud 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
200	194, 197, 199	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ ( k + 1 ) <-> P <_ k ) )
201	200	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) = if ( P <_ k , B , 0 ) )
202	190, 201	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) )
203	202	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
204	203	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) =/= P -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
205	150, 204	pm2.61dne 2880	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
206	205	expcom 451	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
207	206	a2d 29	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) -> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
208	7, 13, 19, 25, 53, 207	nnind 11038	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
209	1, 208	mpcom 38	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542

This theorem is referenced by:  pcmpt2  15597  pcprod  15599  1arithlem4  15630  chtublem  24936  bposlem3  25011