Theorem pwp1fsum 15114

Description: The n-th power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwp1fsum.a	|- ( ph -> A e. CC )
pwp1fsum.n	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
pwp1fsum	|- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + 1 ) = ( ( A + 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k

Proof of Theorem pwp1fsum

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwp1fsum.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		1cnd 10056	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
3		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
4		neg1cn 11124	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. CC
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> -u 1 e. CC )
6		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
8	5, 7	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( -u 1 ^ k ) e. CC )
9	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
10	9, 7	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
11	8, 10	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
12	3, 11	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
13	1, 2, 12	adddird 10065	. . 3 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) + ( 1 x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) ) )
14	3, 1, 11	fsummulc2 14516	. . . . 5 |- ( ph -> ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A x. ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
15	9, 11	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) x. A ) )
16	8, 10, 9	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) x. A ) = ( ( -u 1 ^ k ) x. ( ( A ^ k ) x. A ) ) )
17		expp1 12867	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
18	1, 6, 17	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( ( A ^ k ) x. A ) ) = ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) )
21	15, 16, 20	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A x. ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) )
23	22	sumeq2d 14432	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A x. ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) )
24	14, 23	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) )
25	12	mulid2d 10058	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) )
26	24, 25	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) + ( 1 x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
27		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
28		0zd 11389	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
29		pwp1fsum.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
30		nnz 11399	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
31		peano2zm 11420	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
33	29, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
34		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
35	6, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
37	9, 36	expcld 13008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. CC )
38	8, 37	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) e. CC )
39		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = ( l - 1 ) -> ( -u 1 ^ k ) = ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( l - 1 ) -> ( k + 1 ) = ( ( l - 1 ) + 1 ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( k = ( l - 1 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( A ^ ( ( l - 1 ) + 1 ) ) )
42	39, 41	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = ( l - 1 ) -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( l - 1 ) + 1 ) ) ) )
43	27, 28, 33, 38, 42	fsumshft 14512	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( l - 1 ) + 1 ) ) ) )
44		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) -> l e. ZZ )
45	44	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) -> l e. CC )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) -> l e. CC )
47		npcan1 10455	. . . . . . . . . . 11 |- ( l e. CC -> ( ( l - 1 ) + 1 ) = l )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) -> ( ( l - 1 ) + 1 ) = l )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( ( l - 1 ) + 1 ) ) = ( A ^ l ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( l - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) )
51	50	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( l - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) )
52	51	sumeq2d 14432	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( l - 1 ) + 1 ) ) ) = sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) )
53	29	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
54		npcan1 10455	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
56		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
57	56	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 )
58		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
59	57, 58	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = NN
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = NN )
61	29, 55, 60	3eltr4d 2716	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
62	56	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
63	62	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) <-> l e. ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
64	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> -u 1 e. CC )
65		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. NN -> ( l - 1 ) e. NN0 )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( l - 1 ) e. NN0 )
67	64, 66	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) e. CC )
68	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> A e. CC )
69		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. NN -> l e. NN0 )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> l e. NN0 )
71	68, 70	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( A ^ l ) e. CC )
72	67, 71	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) e. CC )
73	72	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( l e. NN -> ( ph -> ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) e. CC ) )
74		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( l e. ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) -> l e. NN )
75	73, 74	syl11 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( l e. ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) e. CC ) )
76	63, 75	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) e. CC ) )
77	76	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) e. CC )
78		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( l = ( ( N - 1 ) + 1 ) -> ( l - 1 ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( l = ( ( N - 1 ) + 1 ) -> ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
80		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( l = ( ( N - 1 ) + 1 ) -> ( A ^ l ) = ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
81	79, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( l = ( ( N - 1 ) + 1 ) -> ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) )
82	61, 77, 81	fsumm1 14480	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) = ( sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) + ( ( -u 1 ^ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
83	33	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
84		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) = ( N - 1 ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) = ( N - 1 ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
87	86	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) = sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) )
88		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = k -> ( l - 1 ) = ( k - 1 ) )
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = k -> ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) )
90		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = k -> ( A ^ l ) = ( A ^ k ) )
91	89, 90	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( l = k -> ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) = ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) )
92	91	cbvsumv 14426	. . . . . . . . 9 |- sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) )
93	87, 92	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) )
94	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) )
95	55	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( A ^ N ) )
96	94, 95	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) )
97	93, 96	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) + ( ( -u 1 ^ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) )
98	82, 97	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ l e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( l - 1 ) ) x. ( A ^ l ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) )
99	43, 52, 98	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) )
100		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
101		elnn0uz 11725	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
102	100, 101	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
103	29, 102	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
104		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( -u 1 ^ k ) = ( -u 1 ^ 0 ) )
105		exp0 12864	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 1 e. CC -> ( -u 1 ^ 0 ) = 1 )
106	4, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 ^ 0 ) = 1
107	104, 106	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( -u 1 ^ k ) = 1 )
108		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( A ^ k ) = ( A ^ 0 ) )
109	107, 108	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) = ( 1 x. ( A ^ 0 ) ) )
110	103, 11, 109	fsum1p 14482	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) = ( ( 1 x. ( A ^ 0 ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
111		exp0 12864	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
112	1, 111	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
113	112	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. ( A ^ 0 ) ) = ( 1 x. 1 ) )
114		1t1e1 11175	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
115	113, 114	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 x. ( A ^ 0 ) ) = 1 )
116	115	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 x. ( A ^ 0 ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( 1 + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
117		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
118		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN )
119	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> -u 1 e. CC )
120		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
121	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
122	119, 121	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u 1 ^ k ) e. CC )
123	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
124	123, 121	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
125	122, 124	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
126	125	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC ) )
127	118, 126	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( ph -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC ) )
128	56	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 1 ... ( N - 1 ) )
129	127, 128	eleq2s 2719	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> ( ph -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC ) )
130	129	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
131	117, 130	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
132	2, 131	addcomd 10238	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) + 1 ) )
133	110, 116, 132	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) + 1 ) )
134	99, 133	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) + ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) + 1 ) ) )
135		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
137	119, 136	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
138	137, 124	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
139	138	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) e. CC ) )
140	118, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( ph -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) e. CC ) )
141	140, 128	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> ( ph -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) e. CC ) )
142	141	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
143	117, 142	fsumcl 14464	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
144	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
145	29, 100	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
146	144, 145	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
147		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
148	29, 147	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
149	1, 148	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. CC )
150	146, 149	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) e. CC )
151	143, 150	addcld 10059	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) e. CC )
152	151, 131, 2	addassd 10062	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) + 1 ) = ( ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) + ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) + 1 ) ) )
153	143, 150	addcomd 10238	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) ) )
154	153	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
155	150, 143, 131	addassd 10062	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) ) )
156		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. NN -> k e. CC )
157		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. CC -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. NN -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
159	158	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> k = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN -> ( -u 1 ^ k ) = ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
161	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> -u 1 e. CC )
162	161, 135	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN -> ( -u 1 ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. -u 1 ) )
163	161, 135	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
164	163, 161	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. -u 1 ) = ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) ) )
165	160, 162, 164	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> ( -u 1 ^ k ) = ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) ) )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + ( -u 1 ^ k ) ) = ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
167	163	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) ) = -u ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + -u ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) ) )
169	163	negidd 10382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + -u ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) ) = 0 )
170	166, 168, 169	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + ( -u 1 ^ k ) ) = 0 )
171	170	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + ( -u 1 ^ k ) ) = 0 )
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + ( -u 1 ^ k ) ) x. ( A ^ k ) ) = ( 0 x. ( A ^ k ) ) )
173	137, 122, 124	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) + ( -u 1 ^ k ) ) x. ( A ^ k ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
174	124	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 0 x. ( A ^ k ) ) = 0 )
175	172, 173, 174	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = 0 )
176	175	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = 0 ) )
177	118, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = 0 ) )
178	177, 128	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = 0 ) )
179	178	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = 0 )
180	179	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) 0 )
181	117, 142, 130	fsumadd 14470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
182	117	olcd 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) e. Fin ) )
183		sumz 14453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) 0 = 0 )
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) 0 = 0 )
185	180, 181, 184	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = 0 )
186	185	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + 0 ) )
187	150	addid1d 10236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + 0 ) = ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) )
188	186, 187	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) )
189	154, 155, 188	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) )
190	189	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( k - 1 ) ) x. ( A ^ k ) ) + ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + 1 ) )
191	134, 152, 190	3eqtr2d 2662	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ ( k + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + 1 ) )
192	13, 26, 191	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + 1 ) )
193	192	eqcomd 2628	1 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A ^ N ) ) + 1 ) = ( ( A + 1 ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) x. ( A ^ k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  oddpwp1fsum  15115