Theorem radcnvcl 24171

Description: The radius of convergence R of an infinite series is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
radcnv.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
radcnv.r	|- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
radcnvcl	|- ( ph -> R e. ( 0 [,] +oo ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   G, r

Allowed substitution hints:   ph( x, n, r)   A( r)   R( x, n, r)   G( x, n)

Proof of Theorem radcnvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		radcnv.r	. . 3 |- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
2		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } C_ RR
3		ressxr 10083	. . . . 5 |- RR C_ RR*
4	2, 3	sstri 3612	. . . 4 |- { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } C_ RR*
5		supxrcl 12145	. . . 4 |- ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } C_ RR* -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR* )
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR* )
7	1, 6	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> R e. RR* )
8		pser.g	. . . . 5 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
9		radcnv.a	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
10	8, 9	radcnv0 24170	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
11		supxrub 12154	. . . 4 |- ( ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } C_ RR* /\ 0 e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) -> 0 <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
12	4, 10, 11	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
13	12, 1	syl6breqr 4695	. 2 |- ( ph -> 0 <_ R )
14		pnfge 11964	. . 3 |- ( R e. RR* -> R <_ +oo )
15	7, 14	syl 17	. 2 |- ( ph -> R <_ +oo )
16		0xr 10086	. . 3 |- 0 e. RR*
17		pnfxr 10092	. . 3 |- +oo e. RR*
18		elicc1 12219	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( R e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( R e. RR* /\ 0 <_ R /\ R <_ +oo ) ) )
19	16, 17, 18	mp2an 708	. 2 |- ( R e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( R e. RR* /\ 0 <_ R /\ R <_ +oo ) )
20	7, 13, 15, 19	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> R e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   ^cexp 12860   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  radcnvlt1  24172  radcnvle  24174  pserulm  24176  psercnlem2  24178  psercnlem1  24179  psercn  24180  pserdvlem1  24181  pserdvlem2  24182  abelthlem3  24187  abelth  24195  logtayl  24406