Theorem pserulm 24176

Description: If S is a region contained in a circle of radius M < R, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on S. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
pserf.f	|- F = ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
pserf.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
pserf.r	|- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
pserulm.h	|- H = ( i e. NN0 |-> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
pserulm.m	|- ( ph -> M e. RR )
pserulm.l	|- ( ph -> M < R )
pserulm.y	|- ( ph -> S C_ ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pserulm	|- ( ph -> H ( ~~> u ` S ) F )

Distinct variable groups:   j, n, r, x, y, A   i, j, y, H   i, M, j, y   x, i, r   i, G, j, r, y   S, i, j, y   ph, i, j, y

Allowed substitution hints:   ph( x, n, r)   A( i)   R( x, y, i, j, n, r)   S( x, n, r)   F( x, y, i, j, n, r)   G( x, n)   H( x, n, r)   M( x, n, r)

Proof of Theorem pserulm

Dummy variables k m w z f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pserulm.y	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < 0 ) -> S C_ ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
3		0xr 10086	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
4		pserulm.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. RR )
5	4	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR* )
6		icc0 12223	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ M e. RR* ) -> ( ( 0 [,] M ) = (/) <-> M < 0 ) )
7	3, 5, 6	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 [,] M ) = (/) <-> M < 0 ) )
8	7	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < 0 ) -> ( 0 [,] M ) = (/) )
9	8	imaeq2d 5466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < 0 ) -> ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) = ( `' abs " (/) ) )
10		ima0 5481	. . . . . 6 |- ( `' abs " (/) ) = (/)
11	9, 10	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < 0 ) -> ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) = (/) )
12	2, 11	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ( ph /\ M < 0 ) -> S C_ (/) )
13		ss0 3974	. . . 4 |- ( S C_ (/) -> S = (/) )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ M < 0 ) -> S = (/) )
15		nn0uz 11722	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
16		0zd 11389	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
17		0zd 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> 0 e. ZZ )
18		pserf.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
19		pserf.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> A : NN0 --> CC )
21		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) C_ dom abs
22		absf 14077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- abs : CC --> RR
23	22	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom abs = CC
24	21, 23	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) C_ CC
25	1, 24	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ CC )
26	25	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. CC )
27	18, 20, 26	psergf 24166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( G ` y ) : NN0 --> CC )
28	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( G ` y ) ` j ) e. CC )
29	15, 17, 28	serf 12829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( G ` y ) ) : NN0 --> CC )
30	29	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) e. CC )
31	30	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. S ) -> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) e. CC )
32		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) = ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) )
33	31, 32	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) : S --> CC )
34		cnex 10017	. . . . . . 7 |- CC e. _V
35		ssexg 4804	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
36	25, 34, 35	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. _V )
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> S e. _V )
38		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) -> ( ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) <-> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) : S --> CC ) )
39	34, 37, 38	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) <-> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) : S --> CC ) )
40	33, 39	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) )
41		pserulm.h	. . . . 5 |- H = ( i e. NN0 |-> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
42	40, 41	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> H : NN0 --> ( CC ^m S ) )
43		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( G ` y ) ` j ) = ( ( G ` y ) ` j ) )
44		pserf.r	. . . . . . 7 |- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
45	1	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
46		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs : CC --> RR -> abs Fn CC )
47		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs Fn CC -> ( y e. ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) <-> ( y e. CC /\ ( abs ` y ) e. ( 0 [,] M ) ) ) )
48	22, 46, 47	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) <-> ( y e. CC /\ ( abs ` y ) e. ( 0 [,] M ) ) )
49	45, 48	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( y e. CC /\ ( abs ` y ) e. ( 0 [,] M ) ) )
50	49	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` y ) e. ( 0 [,] M ) )
51		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
52	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> M e. RR )
53		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( abs ` y ) e. ( 0 [,] M ) <-> ( ( abs ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` y ) /\ ( abs ` y ) <_ M ) ) )
54	51, 52, 53	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( abs ` y ) e. ( 0 [,] M ) <-> ( ( abs ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` y ) /\ ( abs ` y ) <_ M ) ) )
55	50, 54	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( abs ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` y ) /\ ( abs ` y ) <_ M ) )
56	55	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` y ) e. RR )
57	56	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` y ) e. RR* )
58	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> M e. RR* )
59		iccssxr 12256	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
60	18, 19, 44	radcnvcl 24171	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. ( 0 [,] +oo ) )
61	59, 60	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. RR* )
62	61	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> R e. RR* )
63	55	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` y ) <_ M )
64		pserulm.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M < R )
65	64	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> M < R )
66	57, 58, 62, 63, 65	xrlelttrd 11991	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` y ) < R )
67	18, 20, 44, 26, 66	radcnvlt2 24173	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( G ` y ) ) e. dom ~~> )
68	15, 17, 43, 28, 67	isumcl 14492	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) e. CC )
69		pserf.f	. . . . 5 |- F = ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
70	68, 69	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> F : S --> CC )
71	15, 16, 42, 70	ulm0 24145	. . 3 |- ( ( ph /\ S = (/) ) -> H ( ~~> u ` S ) F )
72	14, 71	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ M < 0 ) -> H ( ~~> u ` S ) F )
73		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
74	73, 15	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
75		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... i ) -> k e. NN0 )
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> k e. NN0 )
77	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> S e. _V )
78		mptexg 6484	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. _V -> ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) e. _V )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) e. _V )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( G ` w ) = ( G ` y ) )
81	80	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = y -> ( ( G ` w ) ` m ) = ( ( G ` y ) ` m ) )
82	81	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) = ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` m ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ( G ` y ) ` m ) = ( ( G ` y ) ` k ) )
84	83	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` m ) ) = ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) )
85	82, 84	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) = ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) )
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) = ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) )
87	85, 86	fvmptg 6280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) e. _V ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ` k ) = ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) )
88	76, 79, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ` k ) = ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) )
89	37, 74, 88	seqof 12858	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) ` i ) = ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
90	89	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) = ( seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) ` i ) )
91	90	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( i e. NN0 |-> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) ` i ) ) )
92		0z 11388	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
93		seqfn 12813	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) Fn ( ZZ>= ` 0 ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) Fn ( ZZ>= ` 0 )
95	15	fneq2i 5986	. . . . . . . 8 |- ( seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) Fn NN0 <-> seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) Fn ( ZZ>= ` 0 ) )
96	94, 95	mpbir 221	. . . . . . 7 |- seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) Fn NN0
97		dffn5 6241	. . . . . . 7 |- ( seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) Fn NN0 <-> seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) ` i ) ) )
98	96, 97	mpbi 220	. . . . . 6 |- seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) ` i ) )
99	91, 41, 98	3eqtr4g 2681	. . . . 5 |- ( ph -> H = seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) )
100	99	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> H = seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) )
101		0zd 11389	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> 0 e. ZZ )
102	36	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> S e. _V )
103	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. S ) -> A : NN0 --> CC )
104	25	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. S ) -> w e. CC )
105	18, 103, 104	psergf 24166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. S ) -> ( G ` w ) : NN0 --> CC )
106	105	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` w ) ` m ) e. CC )
107	106	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ w e. S ) -> ( ( G ` w ) ` m ) e. CC )
108		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) = ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) )
109	107, 108	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) : S --> CC )
110	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> S e. _V )
111		elmapg 7870	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) -> ( ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) e. ( CC ^m S ) <-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) : S --> CC ) )
112	34, 110, 111	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) e. ( CC ^m S ) <-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) : S --> CC ) )
113	109, 112	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) e. ( CC ^m S ) )
114	113, 86	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) : NN0 --> ( CC ^m S ) )
115	114	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) : NN0 --> ( CC ^m S ) )
116		fex 6490	. . . . . . . 8 |- ( ( abs : CC --> RR /\ CC e. _V ) -> abs e. _V )
117	22, 34, 116	mp2an 708	. . . . . . 7 |- abs e. _V
118		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( G ` M ) e. _V
119	117, 118	coex 7118	. . . . . 6 |- ( abs o. ( G ` M ) ) e. _V
120	119	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> ( abs o. ( G ` M ) ) e. _V )
121	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> A : NN0 --> CC )
122	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> M e. RR )
123	122	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> M e. CC )
124	18, 121, 123	psergf 24166	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> ( G ` M ) : NN0 --> CC )
125		fco 6058	. . . . . . 7 |- ( ( abs : CC --> RR /\ ( G ` M ) : NN0 --> CC ) -> ( abs o. ( G ` M ) ) : NN0 --> RR )
126	22, 124, 125	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> ( abs o. ( G ` M ) ) : NN0 --> RR )
127	126	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( abs o. ( G ` M ) ) ` k ) e. RR )
128	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> S C_ CC )
129		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> z e. S )
130	128, 129	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> z e. CC )
131		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> k e. NN0 )
132	130, 131	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
133	132	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( z ^ k ) ) e. RR )
134	123	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> M e. CC )
135	134, 131	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( M ^ k ) e. CC )
136	135	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( M ^ k ) ) e. RR )
137	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> A : NN0 --> CC )
138	137, 131	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
139	138	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR )
140	138	absge0d 14183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ` k ) ) )
141	130	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` z ) e. RR )
142	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> M e. RR )
143	130	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
144	63	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. S ( abs ` y ) <_ M )
145	144	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> A. y e. S ( abs ` y ) <_ M )
146		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( abs ` y ) = ( abs ` z ) )
147	146	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( abs ` y ) <_ M <-> ( abs ` z ) <_ M ) )
148	147	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. S -> ( A. y e. S ( abs ` y ) <_ M -> ( abs ` z ) <_ M ) )
149	129, 145, 148	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` z ) <_ M )
150		leexp1a 12919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` z ) e. RR /\ M e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) <_ M ) ) -> ( ( abs ` z ) ^ k ) <_ ( M ^ k ) )
151	141, 142, 131, 143, 149, 150	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( abs ` z ) ^ k ) <_ ( M ^ k ) )
152	130, 131	absexpd 14191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( z ^ k ) ) = ( ( abs ` z ) ^ k ) )
153	134, 131	absexpd 14191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( M ^ k ) ) = ( ( abs ` M ) ^ k ) )
154		absid 14036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ 0 <_ M ) -> ( abs ` M ) = M )
155	4, 154	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> ( abs ` M ) = M )
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` M ) = M )
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( abs ` M ) ^ k ) = ( M ^ k ) )
158	153, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( M ^ k ) ) = ( M ^ k ) )
159	151, 152, 158	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( z ^ k ) ) <_ ( abs ` ( M ^ k ) ) )
160	133, 136, 139, 140, 159	lemul2ad 10964	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( z ^ k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( M ^ k ) ) ) )
161	138, 132	absmuld 14193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( z ^ k ) ) ) )
162	138, 135	absmuld 14193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( M ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( M ^ k ) ) ) )
163	160, 161, 162	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( M ^ k ) ) ) )
164	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> S e. _V )
165	164, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) e. _V )
166	131, 165, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ` k ) = ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) )
167	166	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ` k ) ` z ) = ( ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) ` z ) )
168		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
169	168	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) ` k ) = ( ( G ` z ) ` k ) )
170		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) = ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) )
171		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` z ) ` k ) e. _V
172	169, 170, 171	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( z e. S -> ( ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) ` z ) = ( ( G ` z ) ` k ) )
173	172	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( y e. S |-> ( ( G ` y ) ` k ) ) ` z ) = ( ( G ` z ) ` k ) )
174	18	pserval2 24165	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` z ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
175	130, 131, 174	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( G ` z ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
176	167, 173, 175	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ` k ) ` z ) = ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
177	176	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ` k ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
178	124	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( G ` M ) : NN0 --> CC )
179		fvco3 6275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` M ) : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( abs o. ( G ` M ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( G ` M ) ` k ) ) )
180	178, 131, 179	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( abs o. ( G ` M ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( G ` M ) ` k ) ) )
181	18	pserval2 24165	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` M ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( M ^ k ) ) )
182	134, 131, 181	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( G ` M ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( M ^ k ) ) )
183	182	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( G ` M ) ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( M ^ k ) ) ) )
184	180, 183	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( ( abs o. ( G ` M ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( M ^ k ) ) ) )
185	163, 177, 184	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ M ) /\ ( k e. NN0 /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ` k ) ` z ) ) <_ ( ( abs o. ( G ` M ) ) ` k ) )
186	64	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> M < R )
187	155, 186	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> ( abs ` M ) < R )
188		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( i = m -> i = m )
189		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = m -> ( ( G ` M ) ` i ) = ( ( G ` M ) ` m ) )
190	189	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( i = m -> ( abs ` ( ( G ` M ) ` i ) ) = ( abs ` ( ( G ` M ) ` m ) ) )
191	188, 190	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> ( i x. ( abs ` ( ( G ` M ) ` i ) ) ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` M ) ` m ) ) ) )
192	191	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( i e. NN0 |-> ( i x. ( abs ` ( ( G ` M ) ` i ) ) ) ) = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` M ) ` m ) ) ) )
193	18, 121, 44, 123, 187, 192	radcnvlt1 24172	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> ( seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( abs ` ( ( G ` M ) ` i ) ) ) ) ) e. dom ~~> /\ seq 0 ( + , ( abs o. ( G ` M ) ) ) e. dom ~~> ) )
194	193	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> seq 0 ( + , ( abs o. ( G ` M ) ) ) e. dom ~~> )
195	15, 101, 102, 115, 120, 127, 185, 194	mtest 24158	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> seq 0 ( oF + , ( m e. NN0 |-> ( w e. S |-> ( ( G ` w ) ` m ) ) ) ) e. dom ( ~~> u ` S ) )
196	100, 195	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> H e. dom ( ~~> u ` S ) )
197		eldmg 5319	. . . . . 6 |- ( H e. dom ( ~~> u ` S ) -> ( H e. dom ( ~~> u ` S ) <-> E. f H ( ~~> u ` S ) f ) )
198	197	ibi 256	. . . . 5 |- ( H e. dom ( ~~> u ` S ) -> E. f H ( ~~> u ` S ) f )
199		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) -> H ( ~~> u ` S ) f )
200		ulmcl 24135	. . . . . . . . . . 11 |- ( H ( ~~> u ` S ) f -> f : S --> CC )
201	200	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) -> f : S --> CC )
202	201	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) -> f = ( y e. S |-> ( f ` y ) ) )
203		0zd 11389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) -> 0 e. ZZ )
204		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( G ` y ) ` j ) = ( ( G ` y ) ` j ) )
205	27	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) -> ( G ` y ) : NN0 --> CC )
206	205	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( G ` y ) ` j ) e. CC )
207	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) -> H : NN0 --> ( CC ^m S ) )
208		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) -> y e. S )
209		seqex 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- seq 0 ( + , ( G ` y ) ) e. _V
210	209	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( G ` y ) ) e. _V )
211		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
212	36	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> S e. _V )
213		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. _V -> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. _V )
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. _V )
215	41	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. NN0 /\ ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. _V ) -> ( H ` i ) = ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
216	211, 214, 215	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( H ` i ) = ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
217	216	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( H ` i ) ` y ) = ( ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) ` y ) )
218		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> y e. S )
219		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) e. _V
220	32	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. S /\ ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) e. _V ) -> ( ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) ` y ) = ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) )
221	218, 219, 220	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) ` y ) = ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) )
222	217, 221	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( H ` i ) ` y ) = ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) )
223		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) -> H ( ~~> u ` S ) f )
224	15, 203, 207, 208, 210, 222, 223	ulmclm 24141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) -> seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ~~> ( f ` y ) )
225	15, 203, 204, 206, 224	isumclim 14488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) /\ y e. S ) -> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) = ( f ` y ) )
226	225	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) -> ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) ) = ( y e. S |-> ( f ` y ) ) )
227	69, 226	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) -> F = ( y e. S |-> ( f ` y ) ) )
228	202, 227	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) -> f = F )
229	199, 228	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ H ( ~~> u ` S ) f ) -> H ( ~~> u ` S ) F )
230	229	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ( ~~> u ` S ) f -> H ( ~~> u ` S ) F ) )
231	230	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. f H ( ~~> u ` S ) f -> H ( ~~> u ` S ) F ) )
232	198, 231	syl5 34	. . . 4 |- ( ph -> ( H e. dom ( ~~> u ` S ) -> H ( ~~> u ` S ) F ) )
233	232	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ H e. dom ( ~~> u ` S ) ) -> H ( ~~> u ` S ) F )
234	196, 233	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ 0 <_ M ) -> H ( ~~> u ` S ) F )
235		0red 10041	. 2 |- ( ph -> 0 e. RR )
236	72, 234, 4, 235	ltlecasei 10145	1 |- ( ph -> H ( ~~> u ` S ) F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ~~> uculm 24130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  psercn2  24177  pserdvlem2  24182