Theorem abelthlem3 24187

Description: Lemma for abelth 24195. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
abelthlem3	|- ( ( ph /\ X e. S ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   z, n, M   n, X, z   A, n, z   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)

Proof of Theorem abelthlem3

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
2		abelth.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
3		abelth.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
4		abelth.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ M )
5		abelth.5	. . . . . . 7 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
6	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 24186	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 e. S /\ ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
7	6	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
8		ssundif 4052	. . . . 5 |- ( S C_ ( { 1 } u. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) <-> ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
9	7, 8	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ( { 1 } u. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
10	9	sselda 3603	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. S ) -> X e. ( { 1 } u. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
11		elun 3753	. . 3 |- ( X e. ( { 1 } u. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) <-> ( X e. { 1 } \/ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
12	10, 11	sylib 208	. 2 |- ( ( ph /\ X e. S ) -> ( X e. { 1 } \/ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
13	1	feqmptd 6249	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( n e. NN0 |-> ( A ` n ) ) )
14	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) e. CC )
15	14	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. 1 ) = ( A ` n ) )
16	15	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. 1 ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ` n ) ) )
17	13, 16	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> A = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. 1 ) ) )
18		elsni 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { 1 } -> X = 1 )
19	18	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. { 1 } -> ( X ^ n ) = ( 1 ^ n ) )
20		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
21		1exp 12889	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
23	19, 22	sylan9eq 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. { 1 } /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) = 1 )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. { 1 } /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) = ( ( A ` n ) x. 1 ) )
25	24	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( X e. { 1 } -> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. 1 ) ) )
26	25	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( X e. { 1 } -> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. 1 ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
27	17, 26	sylan9eq 2676	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. { 1 } ) -> A = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
28	27	seqeq3d 12809	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. { 1 } ) -> seq 0 ( + , A ) = seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
29	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. { 1 } ) -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
30	28, 29	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. { 1 } ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
31		cnxmet 22576	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
32		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
33		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
34	33	rexri 10097	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
35		blssm 22223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ 1 e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) C_ CC )
36	31, 32, 34, 35	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) C_ CC
37		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
38	36, 37	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> X e. CC )
39		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( z = X -> ( z ^ n ) = ( X ^ n ) )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( z = X -> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
41	40	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( z = X -> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
42		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
43		nn0ex 11298	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
44	43	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. _V
45	41, 42, 44	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` X ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
46	38, 45	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` X ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
47	46	seqeq3d 12809	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` X ) ) = seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
48	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> A : NN0 --> CC )
49		eqid 2622	. . . . 5 |- sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
50	38	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
51	50	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. RR* )
52		rexr 10085	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
53	33, 52	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> 1 e. RR* )
54		iccssxr 12256	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
55	42, 48, 49	radcnvcl 24171	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
56	54, 55	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR* )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
58	57	cnmetdval 22574	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
59	38, 32, 58	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
60	38	subid1d 10381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( X - 0 ) = X )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( abs ` ( X - 0 ) ) = ( abs ` X ) )
62	59, 61	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` X ) )
63		elbl3 22197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ X e. CC ) ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
64	31, 34, 63	mpanl12 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. CC /\ X e. CC ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
65	32, 38, 64	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
66	37, 65	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 )
67	62, 66	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( abs ` X ) < 1 )
68	1, 2	abelthlem1 24185	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
69	68	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> 1 <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
70	51, 53, 56, 67, 69	xrltletrd 11992	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> ( abs ` X ) < sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
71	42, 48, 49, 38, 70	radcnvlt2 24173	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( ( z e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) ) ` X ) ) e. dom ~~> )
72	47, 71	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
73	30, 72	jaodan 826	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. { 1 } \/ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
74	12, 73	syldan 487	1 |- ( ( ph /\ X e. S ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  abelthlem4  24188  abelthlem9  24194