Theorem psercn 24180

Description: An infinite series converges to a continuous function on the open disk of radius R, where R is the radius of convergence of the series. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
pserf.f	|- F = ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
pserf.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
pserf.r	|- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
psercn.s	|- S = ( `' abs " ( 0 [,) R ) )
psercn.m	|- M = if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
psercn	|- ( ph -> F e. ( S -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   j, a, n, r, x, y, A   j, M, y   j, G, r, y   S, a, j, y   F, a   ph, a, j, y

Allowed substitution hints:   ph( x, n, r)   R( x, y, j, n, r, a)   S( x, n, r)   F( x, y, j, n, r)   G( x, n, a)   M( x, n, r, a)

Proof of Theorem psercn

Dummy variables k s i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumex 14418	. . . . . 6 |- sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) e. _V
2	1	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. y e. S sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) e. _V
3		pserf.f	. . . . . 6 |- F = ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
4	3	fnmpt 6020	. . . . 5 |- ( A. y e. S sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) e. _V -> F Fn S )
5	2, 4	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> F Fn S )
6		psercn.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( `' abs " ( 0 [,) R ) )
7		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) C_ dom abs
8		absf 14077	. . . . . . . . . . . . 13 |- abs : CC --> RR
9	8	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . 12 |- dom abs = CC
10	7, 9	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) C_ CC
11	6, 10	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- S C_ CC
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
13	12	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. CC )
14		0cn 10032	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. CC
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
16	15	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. CC /\ a e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
17	14, 13, 16	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
18		abssub 14066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. CC /\ a e. CC ) -> ( abs ` ( 0 - a ) ) = ( abs ` ( a - 0 ) ) )
19	14, 13, 18	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` ( 0 - a ) ) = ( abs ` ( a - 0 ) ) )
20	13	subid1d 10381	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a - 0 ) = a )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` ( a - 0 ) ) = ( abs ` a ) )
22	17, 19, 21	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` a ) )
23		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) = if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` a ) < ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) <-> ( abs ` a ) < if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) ) ) )
24		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` a ) + 1 ) = if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` a ) < ( ( abs ` a ) + 1 ) <-> ( abs ` a ) < if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) ) ) )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
26	25, 6	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) )
27		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs : CC --> RR -> abs Fn CC )
28		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs Fn CC -> ( a e. ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) <-> ( a e. CC /\ ( abs ` a ) e. ( 0 [,) R ) ) ) )
29	8, 27, 28	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) <-> ( a e. CC /\ ( abs ` a ) e. ( 0 [,) R ) ) )
30	26, 29	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a e. CC /\ ( abs ` a ) e. ( 0 [,) R ) ) )
31	30	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` a ) e. ( 0 [,) R ) )
32		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
33		iccssxr 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
34		pserf.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
35		pserf.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
36		pserf.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
37	34, 35, 36	radcnvcl 24171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> R e. ( 0 [,] +oo ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> R e. ( 0 [,] +oo ) )
39	33, 38	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> R e. RR* )
40		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ R e. RR* ) -> ( ( abs ` a ) e. ( 0 [,) R ) <-> ( ( abs ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` a ) /\ ( abs ` a ) < R ) ) )
41	32, 39, 40	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( abs ` a ) e. ( 0 [,) R ) <-> ( ( abs ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` a ) /\ ( abs ` a ) < R ) ) )
42	31, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( abs ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` a ) /\ ( abs ` a ) < R ) )
43	42	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` a ) < R )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ R e. RR ) -> ( abs ` a ) < R )
45	13	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` a ) e. RR )
46		avglt1 11270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` a ) e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( abs ` a ) < R <-> ( abs ` a ) < ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) ) )
47	45, 46	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ R e. RR ) -> ( ( abs ` a ) < R <-> ( abs ` a ) < ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) ) )
48	44, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ R e. RR ) -> ( abs ` a ) < ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) )
49	45	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` a ) < ( ( abs ` a ) + 1 ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ -. R e. RR ) -> ( abs ` a ) < ( ( abs ` a ) + 1 ) )
51	23, 24, 48, 50	ifbothda 4123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` a ) < if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) ) )
52		psercn.m	. . . . . . . . . 10 |- M = if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) )
53	51, 52	syl6breqr 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` a ) < M )
54	22, 53	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) < M )
55		cnxmet 22576	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
57	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> 0 e. CC )
58	34, 3, 35, 36, 6, 52	psercnlem1 24179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( M e. RR+ /\ ( abs ` a ) < M /\ M < R ) )
59	58	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M e. RR+ )
60	59	rpxrd 11873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M e. RR* )
61		elbl 22193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ M e. RR* ) -> ( a e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) <-> ( a e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) a ) < M ) ) )
62	56, 57, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) <-> ( a e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) a ) < M ) ) )
63	13, 54, 62	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) )
64		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( a e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) -> ( ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) ` a ) = ( F ` a ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) ` a ) = ( F ` a ) )
66	3	reseq1i 5392	. . . . . . . . . 10 |- ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = ( ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) ) |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) )
67	34, 3, 35, 36, 6, 58	psercnlem2 24178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) /\ ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) C_ S ) )
68	67	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
69	67	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) C_ S )
70	68, 69	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ S )
71	70	resmptd 5452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) ) |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) ) )
72	66, 71	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) ) )
73		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) ) = ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
74	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> A : NN0 --> CC )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = y -> ( G ` k ) = ( G ` y ) )
76	75	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = y -> seq 0 ( + , ( G ` k ) ) = seq 0 ( + , ( G ` y ) ) )
77	76	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = y -> ( seq 0 ( + , ( G ` k ) ) ` s ) = ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` s ) )
78	77	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> ( seq 0 ( + , ( G ` k ) ) ` s ) ) = ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` s ) )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = i -> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` s ) = ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) )
80	79	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = i -> ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` s ) ) = ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
81	78, 80	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = i -> ( k e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> ( seq 0 ( + , ( G ` k ) ) ` s ) ) = ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
82	81	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. NN0 |-> ( k e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> ( seq 0 ( + , ( G ` k ) ) ` s ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
83	59	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M e. RR )
84	58	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M < R )
85	34, 73, 74, 36, 82, 83, 84, 68	psercn2 24177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( y e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) ) e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) -cn-> CC ) )
86	72, 85	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) -cn-> CC ) )
87		cncff 22696	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) -cn-> CC ) -> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) : ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) --> CC )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) : ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) --> CC )
89	88, 63	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) ` a ) e. CC )
90	65, 89	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F ` a ) e. CC )
91	90	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. S ( F ` a ) e. CC )
92		ffnfv 6388	. . . 4 |- ( F : S --> CC <-> ( F Fn S /\ A. a e. S ( F ` a ) e. CC ) )
93	5, 91, 92	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> F : S --> CC )
94	70, 11	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ CC )
95		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
96		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
97		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) )
98	96	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
99	96	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
100	99	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
101	100	restid 16094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
102	98, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
103	102	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
104	96, 97, 103	cncfcn 22712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
105	94, 95, 104	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
106	86, 105	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
107	100	restuni 20966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ CC ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) )
108	98, 94, 107	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) )
109	63, 108	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) )
110		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) )
111	110	cncnpi 21082	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) /\ a e. U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) ) -> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) )
112	106, 109, 111	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) )
113	98	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
114		cnex 10017	. . . . . . . . . . 11 |- CC e. _V
115	114, 11	ssexi 4803	. . . . . . . . . 10 |- S e. _V
116	115	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> S e. _V )
117		restabs 20969	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) )
118	113, 70, 116, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) )
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
120	119	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) )
121	112, 120	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) )
122		resttop 20964	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
123	98, 115, 122	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top
124	123	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
125		df-ss 3588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ S <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) i^i S ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) )
126	70, 125	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) i^i S ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) )
127	96	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
128	127	blopn 22305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ M e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
129	56, 57, 60, 128	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
130		elrestr 16089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S e. _V /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) i^i S ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
131	113, 116, 129, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) i^i S ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
132	126, 131	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
133		isopn3i 20886	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) )
134	123, 132, 133	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) )
135	63, 134	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) )
136	93	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> F : S --> CC )
137	100	restuni 20966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S C_ CC ) -> S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
138	98, 11, 137	mp2an 708	. . . . . . 7 |- S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
139	138, 100	cnprest 21093	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) C_ S ) /\ ( a e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) /\ F : S --> CC ) ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) <-> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) ) )
140	124, 70, 135, 136, 139	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) <-> ( F |` ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) e. ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) M ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) ) )
141	121, 140	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) )
142	141	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. a e. S F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) )
143		resttopon 20965	. . . . 5 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
144	99, 11, 143	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S )
145		cncnp 21084	. . . 4 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : S --> CC /\ A. a e. S F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) ) ) )
146	144, 99, 145	mp2an 708	. . 3 |- ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : S --> CC /\ A. a e. S F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` a ) ) )
147	93, 142, 146	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
148		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
149	96, 148, 103	cncfcn 22712	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( S -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
150	11, 95, 149	mp2an 708	. 2 |- ( S -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
151	147, 150	syl6eleqr 2712	1 |- ( ph -> F e. ( S -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24182  pserdv  24183  abelth  24195  logtayl  24406