Theorem rpmulcl 11855

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcl	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A x. B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 11839	. . 3 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2		rpre 11839	. . 3 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
3		remulcl 10021	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A x. B ) e. RR )
5		elrp 11834	. . 3 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
6		elrp 11834	. . 3 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
7		mulgt0 10115	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )
8	5, 6, 7	syl2anb 496	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> 0 < ( A x. B ) )
9		elrp 11834	. 2 |- ( ( A x. B ) e. RR+ <-> ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 < ( A x. B ) ) )
10	4, 8, 9	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A x. B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  rpmulcld  11888  moddi  12738  rpexpcl  12879  discr  13001  reccn2  14327  expcnv  14596  fprodrpcl  14686  rprisefaccl  14754  rpmsubg  19810  ovolscalem2  23282  aaliou3lem7  24104  aaliou3lem9  24105  cosordlem  24277  logfac  24347  loglesqrt  24499  divsqrtsumlem  24706  basellem1  24807  pclogsum  24940  bclbnd  25005  bposlem7  25015  bposlem8  25016  bposlem9  25017  chebbnd1lem2  25159  dchrisum0lem3  25208  chpdifbndlem2  25243  pntrsumbnd2  25256  pntpbnd1a  25274  pntpbnd2  25276  pntibnd  25282  pntlemd  25283  pntlema  25285  pntlemb  25286  pntlemf  25294  pntlemo  25296  minvecolem3  27732  knoppndvlem18  32520  taupilem1  33167  taupilem2  33168  taupi  33169  ftc1anclem7  33491  ftc1anc  33493  isbnd2  33582  wallispilem4  40285  wallispi  40287  dirker2re  40309  dirkerdenne0  40310  dirkerper  40313  dirkertrigeq  40318  dirkercncflem2  40321  fourierdlem24  40348  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446  amgmlemALT  42549