rpnnen1lem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem rpnnen1lem5 11818

Description: Lemma for rpnnen1 11820. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpnnen1lem.1
rpnnen1lem.2
rpnnen1lem.n
rpnnen1lem.q

**Assertion**
Ref	Expression
rpnnen1lem5

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem rpnnen1lem5 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen1lem.1	. . . 4
2		rpnnen1lem.2	. . . 4
3		rpnnen1lem.n	. . . 4
4		rpnnen1lem.q	. . . 4
5	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem3 11816	. . 3
6	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem1 11815	. . . . . 6
7	4, 3	elmap 7886	. . . . . 6
8	6, 7	sylib 208	. . . . 5
9		frn 6053	. . . . . 6
10		qssre 11798	. . . . . 6
11	9, 10	syl6ss 3615	. . . . 5
12	8, 11	syl 17	. . . 4
13		1nn 11031	. . . . . . . 8
14	13	ne0ii 3923	. . . . . . 7
15		fdm 6051	. . . . . . . 8
16	15	neeq1d 2853	. . . . . . 7
17	14, 16	mpbiri 248	. . . . . 6
18		dm0rn0 5342	. . . . . . 7
19	18	necon3bii 2846	. . . . . 6
20	17, 19	sylib 208	. . . . 5
21	8, 20	syl 17	. . . 4
22		breq2 4657	. . . . . . 7
23	22	ralbidv 2986	. . . . . 6
24	23	rspcev 3309	. . . . 5 $/\$
25	5, 24	mpdan 702	. . . 4
26		id 22	. . . 4
27		suprleub 10989	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
28	12, 21, 25, 26, 27	syl31anc 1329	. . 3
29	5, 28	mpbird 247	. 2
30	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem4 11817	. . . . . . . . 9
31		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 $/\$
32	30, 31	mpdan 702	. . . . . . . 8
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
34		posdif 10521	. . . . . . . . . 10 $/\$
35	30, 34	mpancom 703	. . . . . . . . 9
36	35	biimpa 501	. . . . . . . 8 $/\$
37	36	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7 $/\$
38	33, 37	rereccld 10852	. . . . . 6 $/\$
39		arch 11289	. . . . . 6
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 $/\$
41	40	ex 450	. . . 4
42	1, 2	rpnnen1lem2 11814	. . . . . . . . 9 $/\$
43	42	zred 11482	. . . . . . . 8 $/\$
44	43	3adant3 1081	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
45	44	ltp1d 10954	. . . . . 6 $/\$ $/\$
46	33, 36	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14
48		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . 14
49	47, 48	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50		ltrec1 10910	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
51	46, 49, 50	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
53		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
55		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
56	52, 54, 55	ltaddsub2d 10628	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
57	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
58		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59	8, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
61	59, 60	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	57, 61	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
63	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
65	12, 21, 25	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
67		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
68	66, 61, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	62, 63, 64, 68	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	62, 64	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
71		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
72	30, 53, 71	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
73		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
76	70, 72, 73, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
77	69, 76	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
78	77	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	56, 78	sylbird 250	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	51, 79	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
81	42	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
82		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83	82	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84	83, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
85	84	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	81, 85	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
88	1, 87	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90	88, 89	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
92		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
93	92	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
94	47, 93	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
95		btwnz 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
96	95	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97	94, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
98		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
100		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
101	49	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
102		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
103	99, 100, 101, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
104	103	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
105	97, 104	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107	105, 106	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
108	1	neeq1i 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	107, 108	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
110	1	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
111	47	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
112	111, 100, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
113		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
114	99, 112, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
115	103, 114	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
116	115	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
117	110, 116	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
118	117	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
119		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120	119	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121	120	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	94, 118, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123	91, 109, 122	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
124		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
125	123, 124	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
126	86, 125	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	126	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128	42	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
130		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	130, 131	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
133	132	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
134		divdir 10710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
135	128, 129, 133, 134	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
136	3	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137	2	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
138	136, 137	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139	138	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
140		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142	141	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
143	140, 142	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
144	139, 143	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
145	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
146	135, 145	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
147	146	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
148	81	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
149	148, 43	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
150	127, 147, 149	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
151	150	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
152	80, 151	syld 47	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
153	152	exp31 630	. . . . . . . . 9
154	153	com4l 92	. . . . . . . 8
155	154	com14 96	. . . . . . 7
156	155	3imp 1256	. . . . . 6 $/\$ $/\$
157	45, 156	mt2d 131	. . . . 5 $/\$ $/\$
158	157	rexlimdv3a 3033	. . . 4
159	41, 158	syld 47	. . 3
160	159	pm2.01d 181	. 2
161		eqlelt 10125	. . 3 $/\$ $/\$
162	30, 161	mpancom 703	. 2 $/\$
163	29, 160, 162	mpbir2and 957	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

csup 8346

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cz 11377

cq 11788

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-q 11789

This theorem is referenced by: rpnnen1lem6 11819

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