Theorem sbgoldbwt 41665

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbwt	|- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) )

Distinct variable group:   m, n

Proof of Theorem sbgoldbwt

Dummy variables p q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 41544	. . . 4 |- ( m e. Odd -> m e. ZZ )
2		5nn 11188	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
3	2	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- 5 e. ZZ
4		zltp1le 11427	. . . . . . 7 |- ( ( 5 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 5 < m <-> ( 5 + 1 ) <_ m ) )
5	3, 4	mpan 706	. . . . . 6 |- ( m e. ZZ -> ( 5 < m <-> ( 5 + 1 ) <_ m ) )
6		5p1e6 11155	. . . . . . . . 9 |- ( 5 + 1 ) = 6
7	6	breq1i 4660	. . . . . . . 8 |- ( ( 5 + 1 ) <_ m <-> 6 <_ m )
8		6re 11101	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> 6 e. RR )
10		zre 11381	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
11	9, 10	leloed 10180	. . . . . . . 8 |- ( m e. ZZ -> ( 6 <_ m <-> ( 6 < m \/ 6 = m ) ) )
12	7, 11	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> ( ( 5 + 1 ) <_ m <-> ( 6 < m \/ 6 = m ) ) )
13		6nn 11189	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
14	13	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. ZZ
15		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 6 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 6 < m <-> ( 6 + 1 ) <_ m ) )
16	14, 15	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ZZ -> ( 6 < m <-> ( 6 + 1 ) <_ m ) )
17		6p1e7 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 6 + 1 ) = 7
18	17	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 + 1 ) <_ m <-> 7 <_ m )
19		7re 11103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 7 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ZZ -> 7 e. RR )
21	20, 10	leloed 10180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> ( 7 <_ m <-> ( 7 < m \/ 7 = m ) ) )
22	18, 21	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 + 1 ) <_ m <-> ( 7 < m \/ 7 = m ) ) )
23		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> m e. Odd )
24		3odd 41617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 e. Odd
25	23, 24	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( m e. Odd /\ 3 e. Odd ) )
26		omoeALTV 41596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. Odd /\ 3 e. Odd ) -> ( m - 3 ) e. Even )
27		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( 4 < n <-> 4 < ( m - 3 ) ) )
28		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( n e. GoldbachEven <-> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
29	27, 28	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) <-> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
30	29	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m - 3 ) e. Even -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
31	25, 26, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
32		4p3e7 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 + 3 ) = 7
33	32	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 7 = ( 4 + 3 )
34	33	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 7 < m <-> ( 4 + 3 ) < m )
35		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 4 e. RR
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ZZ -> 4 e. RR )
37		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 3 e. RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ZZ -> 3 e. RR )
39		ltaddsub 10502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 4 e. RR /\ 3 e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( 4 + 3 ) < m <-> 4 < ( m - 3 ) ) )
40	39	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 4 e. RR /\ 3 e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( 4 + 3 ) < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
41	36, 38, 10, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. ZZ -> ( ( 4 + 3 ) < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
42	34, 41	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. ZZ -> ( 7 < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
43	42	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> 4 < ( m - 3 ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> 4 < ( m - 3 ) )
45		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 < ( m - 3 ) -> ( ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
47		isgbe 41639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m - 3 ) e. GoldbachEven <-> ( ( m - 3 ) e. Even /\ E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) ) )
48		3prm 15406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 3 e. Prime
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( m e. ZZ -> 3 e. Prime )
50		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. ZZ -> m e. CC )
51		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 3 e. CC
52	50, 51	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( m e. ZZ -> ( m e. CC /\ 3 e. CC ) )
53		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( m e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = m )
54	53	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( m e. CC /\ 3 e. CC ) -> m = ( ( m - 3 ) + 3 ) )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( m e. ZZ -> m = ( ( m - 3 ) + 3 ) )
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 3 = r -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = ( ( m - 3 ) + r ) )
57	56	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( r = 3 -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = ( ( m - 3 ) + r ) )
58	55, 57	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( m e. ZZ /\ r = 3 ) -> m = ( ( m - 3 ) + r ) )
59	49, 58	rspcedeq2vd 3319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( m - 3 ) + r ) )
60		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( ( m - 3 ) + r ) = ( ( p + q ) + r ) )
61	60	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( m = ( ( m - 3 ) + r ) <-> m = ( ( p + q ) + r ) ) )
62	61	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( E. r e. Prime m = ( ( m - 3 ) + r ) <-> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
63	59, 62	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
64	63	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m e. ZZ -> ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
66	65	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
67	66	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) /\ p e. Prime ) -> ( E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
68	67	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
69	68, 23	jctild 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> ( m e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
70		isgbow 41640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. GoldbachOddW <-> ( m e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
71	69, 70	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> m e. GoldbachOddW ) )
72	71	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( ( m - 3 ) e. Even /\ E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) ) -> m e. GoldbachOddW ) )
73	47, 72	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( m - 3 ) e. GoldbachEven -> m e. GoldbachOddW ) )
74	31, 46, 73	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> m e. GoldbachOddW ) )
75	74	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> m e. GoldbachOddW ) ) )
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) )
77	76	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 7 < m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
78		7gbow 41660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 7 e. GoldbachOddW
79		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 7 = m -> ( 7 e. GoldbachOddW <-> m e. GoldbachOddW ) )
80	78, 79	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 7 = m -> m e. GoldbachOddW )
81	80	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 7 = m -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) )
82	81	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 7 = m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) )
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 7 = m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
84	77, 83	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 7 < m \/ 7 = m ) -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ZZ -> ( ( 7 < m \/ 7 = m ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
86	22, 85	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 + 1 ) <_ m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
87	16, 86	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> ( 6 < m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
88	87	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( 6 < m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
89		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 = m -> ( 6 e. Odd <-> m e. Odd ) )
90		6even 41620	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. Even
91		evennodd 41556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 6 e. Even -> -. 6 e. Odd )
92	91	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 6 e. Even -> ( 6 e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) )
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 e. Odd -> m e. GoldbachOddW )
94	89, 93	syl6bir 244	. . . . . . . . . . 11 |- ( 6 = m -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) )
95	94	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 = m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) )
96	95	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( 6 = m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
97	88, 96	jaoi 394	. . . . . . . 8 |- ( ( 6 < m \/ 6 = m ) -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
98	97	com12 32	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 < m \/ 6 = m ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
99	12, 98	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( m e. ZZ -> ( ( 5 + 1 ) <_ m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
100	5, 99	sylbid 230	. . . . 5 |- ( m e. ZZ -> ( 5 < m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
101	100	com24 95	. . . 4 |- ( m e. ZZ -> ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) ) ) )
102	1, 101	mpcom 38	. . 3 |- ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) ) )
103	102	impcom 446	. 2 |- ( ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) /\ m e. Odd ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) )
104	103	ralrimiva 2966	1 |- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   ZZcz 11377   Primecprime 15385   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachEven cgbe 41633   GoldbachOddW cgbow 41634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbe 41636  df-gbow 41637

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  41672  bgoldbnnsum3prm  41692