Theorem bgoldbnnsum3prm 41692

Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then every integer greater than 1 is the sum of at most 3 primes, showing that Schnirelmann's constant would be equal to 3. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bgoldbnnsum3prm	|- ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> A. n e. ( ZZ>= ` 2 ) E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )

Distinct variable group:   f, k, m, d, n

Proof of Theorem bgoldbnnsum3prm

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11409	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
2		9nn 11192	. . . . . . . 8 |- 9 e. NN
3	2	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- 9 e. ZZ
4		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
5		9re 11107	. . . . . . . 8 |- 9 e. RR
6		2lt9 11228	. . . . . . . 8 |- 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 10160	. . . . . . 7 |- 2 <_ 9
8		eluz2 11693	. . . . . . 7 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1244	. . . . . 6 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		fzouzsplit 12503	. . . . . . 7 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ZZ>= ` 2 ) = ( ( 2..^ 9 ) u. ( ZZ>= ` 9 ) ) )
11	10	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> n e. ( ( 2..^ 9 ) u. ( ZZ>= ` 9 ) ) ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> n e. ( ( 2..^ 9 ) u. ( ZZ>= ` 9 ) ) )
13		elun 3753	. . . . 5 |- ( n e. ( ( 2..^ 9 ) u. ( ZZ>= ` 9 ) ) <-> ( n e. ( 2..^ 9 ) \/ n e. ( ZZ>= ` 9 ) ) )
14	12, 13	bitri 264	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( n e. ( 2..^ 9 ) \/ n e. ( ZZ>= ` 9 ) ) )
15		elfzo2 12473	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 2..^ 9 ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. ZZ /\ n < 9 ) )
16		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. ZZ /\ n < 9 ) -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) )
17		df-9 11086	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 = ( 8 + 1 )
18	17	breq2i 4661	. . . . . . . . . . 11 |- ( n < 9 <-> n < ( 8 + 1 ) )
19		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> n e. NN )
20		8nn 11191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. NN
21	19, 20	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN /\ 8 e. NN ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. ZZ ) -> ( n e. NN /\ 8 e. NN ) )
23		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ 8 e. NN ) -> ( n <_ 8 <-> n < ( 8 + 1 ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. ZZ ) -> ( n <_ 8 <-> n < ( 8 + 1 ) ) )
25	24	biimprd 238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. ZZ ) -> ( n < ( 8 + 1 ) -> n <_ 8 ) )
26	18, 25	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. ZZ ) -> ( n < 9 -> n <_ 8 ) )
27	26	3impia 1261	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. ZZ /\ n < 9 ) -> n <_ 8 )
28	16, 27	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 9 e. ZZ /\ n < 9 ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n <_ 8 ) )
29	15, 28	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 2..^ 9 ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n <_ 8 ) )
30		nnsum3primesle9 41682	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n <_ 8 ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( n e. ( 2..^ 9 ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )
32	31	a1d 25	. . . . 5 |- ( n e. ( 2..^ 9 ) -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
33		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( 4 < m <-> 4 < n ) )
34		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( m e. GoldbachEven <-> n e. GoldbachEven ) )
35	33, 34	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) <-> ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) ) )
36	35	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Even -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) ) )
37		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 e. RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> 4 e. RR )
39	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> 9 e. RR )
40		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> n e. RR )
41	38, 39, 40	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( 4 e. RR /\ 9 e. RR /\ n e. RR ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Even /\ n e. ( ZZ>= ` 9 ) ) -> ( 4 e. RR /\ 9 e. RR /\ n e. RR ) )
43		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> 9 <_ n )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. Even /\ n e. ( ZZ>= ` 9 ) ) -> 9 <_ n )
45		4lt9 11226	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 < 9
46	44, 45	jctil 560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Even /\ n e. ( ZZ>= ` 9 ) ) -> ( 4 < 9 /\ 9 <_ n ) )
47		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ 9 e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 4 < 9 /\ 9 <_ n ) -> 4 < n ) )
48	42, 46, 47	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. Even /\ n e. ( ZZ>= ` 9 ) ) -> 4 < n )
49		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 < n -> ( ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> n e. GoldbachEven ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Even /\ n e. ( ZZ>= ` 9 ) ) -> ( ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> n e. GoldbachEven ) )
51	50	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Even -> ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> n e. GoldbachEven ) ) )
52	36, 51	syl5d 73	. . . . . . . 8 |- ( n e. Even -> ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> n e. GoldbachEven ) ) )
53	52	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Even ) -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> n e. GoldbachEven ) )
54		nnsum3primesgbe 41680	. . . . . . 7 |- ( n e. GoldbachEven -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )
55	53, 54	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Even ) -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
56		3nn 11186	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) /\ A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) ) -> 3 e. NN )
58		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = 3 -> ( 1 ... d ) = ( 1 ... 3 ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = 3 -> ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) = ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) )
60		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = 3 -> ( d <_ 3 <-> 3 <_ 3 ) )
61	58	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = 3 -> sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) )
62	61	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = 3 -> ( n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) <-> n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) ) )
63	60, 62	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = 3 -> ( ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) <-> ( 3 <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) ) ) )
64	59, 63	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . . 10 |- ( d = 3 -> ( E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) <-> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( 3 <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) ) ) )
65	64	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) /\ A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) ) /\ d = 3 ) -> ( E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) <-> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( 3 <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) ) ) )
66		3re 11094	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. RR
67	66	leidi 10562	. . . . . . . . . . 11 |- 3 <_ 3
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) /\ A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) ) -> 3 <_ 3 )
69		6nn 11189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 e. NN
70	69	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. ZZ
71		6re 11101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 e. RR
72		6lt9 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 < 9
73	71, 5, 72	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 <_ 9
74		eluzuzle 11696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 6 <_ 9 ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> n e. ( ZZ>= ` 6 ) ) )
75	70, 73, 74	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> n e. ( ZZ>= ` 6 ) )
76	75	anim1i 592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 6 ) /\ n e. Odd ) )
77		nnsum4primesodd 41684	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` 6 ) /\ n e. Odd ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) ) )
78	76, 77	mpan9 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) /\ A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) )
79		r19.42v 3092	. . . . . . . . . 10 |- ( E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( 3 <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) ) <-> ( 3 <_ 3 /\ E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) ) )
80	68, 78, 79	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) /\ A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( 3 <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( f ` k ) ) )
81	57, 65, 80	rspcedvd 3317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) /\ A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )
82	81	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
83		sbgoldbwt 41665	. . . . . . 7 |- ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> A. o e. Odd ( 5 < o -> o e. GoldbachOddW ) )
84	82, 83	syl11 33	. . . . . 6 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ n e. Odd ) -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
85		eluzelz 11697	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> n e. ZZ )
86		zeoALTV 41581	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( n e. Even \/ n e. Odd ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( n e. Even \/ n e. Odd ) )
88	55, 84, 87	mpjaodan 827	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
89	32, 88	jaoi 394	. . . 4 |- ( ( n e. ( 2..^ 9 ) \/ n e. ( ZZ>= ` 9 ) ) -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
90	14, 89	sylbi 207	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
91	90	impcom 446	. 2 |- ( ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )
92	91	ralrimiva 2966	1 |- ( A. m e. Even ( 4 < m -> m e. GoldbachEven ) -> A. n e. ( ZZ>= ` 2 ) E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ n = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   8c8 11076   9c9 11077   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   Primecprime 15385   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachEven cgbe 41633   GoldbachOddW cgbow 41634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbe 41636  df-gbow 41637

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