Theorem sge0less 40609

Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.1	|- ( ph -> X e. V )
sge0less.2	|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0less	|- ( ph -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ (Σ^ ` F ) )

Proof of Theorem sge0less

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
2		inex1g 4801	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( X i^i Y ) e. _V )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X i^i Y ) e. _V )
4		sge0less.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
5		fresin 6073	. . . . . . 7 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> ( F |` Y ) : ( X i^i Y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` Y ) : ( X i^i Y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
7	3, 6	sge0xrcl 40602	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) e. RR* )
8		pnfge 11964	. . . . 5 |- ( (Σ^ ` ( F |` Y ) ) e. RR* -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ +oo )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ +oo )
10	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ +oo )
11		id 22	. . . . 5 |- ( (Σ^ ` F ) = +oo -> (Σ^ ` F ) = +oo )
12	11	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( (Σ^ ` F ) = +oo -> +oo = (Σ^ ` F ) )
13	12	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` F ) )
14	10, 13	breqtrd 4679	. 2 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ (Σ^ ` F ) )
15		simpl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` F ) = +oo ) -> ph )
16		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` F ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` F ) = +oo )
17	15, 1	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` F ) = +oo ) -> X e. V )
18	15, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` F ) = +oo ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
19	17, 18	sge0repnf 40603	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` F ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` F ) e. RR <-> -. (Σ^ ` F ) = +oo ) )
20	16, 19	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` F ) = +oo ) -> (Σ^ ` F ) e. RR )
21		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) -> x e. ~P ( X i^i Y ) )
22		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ~P ( X i^i Y ) -> x C_ ( X i^i Y ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) -> x C_ ( X i^i Y ) )
24		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X i^i Y ) C_ Y
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) -> ( X i^i Y ) C_ Y )
26	23, 25	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) -> x C_ Y )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) /\ y e. x ) -> x C_ Y )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. x )
29	27, 28	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. Y )
30		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Y -> ( ( F |` Y ) ` y ) = ( F ` y ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` Y ) ` y ) = ( F ` y ) )
32	31	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) -> A. y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) = ( F ` y ) )
33	32	sumeq2d 14432	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) -> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
34	33	mpteq2ia 4740	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) = ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
35		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i Y ) C_ X
36		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X i^i Y ) C_ X <-> ~P ( X i^i Y ) C_ ~P X )
37	36	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X i^i Y ) C_ X -> ~P ( X i^i Y ) C_ ~P X )
38	35, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ~P ( X i^i Y ) C_ ~P X
39		ssrin 3838	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P ( X i^i Y ) C_ ~P X -> ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) C_ ( ~P X i^i Fin ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) C_ ( ~P X i^i Fin )
41		mptss 5454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) C_ ( ~P X i^i Fin ) -> ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
43	34, 42	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) C_ ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
44		rnss 5354	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) C_ ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ran ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) C_ ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ran ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) C_ ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
46	45	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> ran ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) C_ ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
47	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
48	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> X e. V )
49		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> (Σ^ ` F ) e. RR )
50	48, 47, 49	sge0rern 40605	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> -. +oo e. ran F )
51	47, 50	fge0iccico 40587	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
52	51	sge0rnre 40581	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
53		ressxr 10083	. . . . . 6 |- RR C_ RR*
54	52, 53	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
55		supxrss 12162	. . . . 5 |- ( ( ran ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) C_ ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) /\ ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) , RR* , < ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
56	46, 54, 55	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) , RR* , < ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
57	48, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> ( X i^i Y ) e. _V )
58	47, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> ( F |` Y ) : ( X i^i Y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
59		nelrnres 39374	. . . . . . . 8 |- ( -. +oo e. ran F -> -. +oo e. ran ( F |` Y ) )
60	50, 59	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> -. +oo e. ran ( F |` Y ) )
61	58, 60	fge0iccico 40587	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> ( F |` Y ) : ( X i^i Y ) --> ( 0 [,) +oo ) )
62	57, 61	sge0reval 40589	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) , RR* , < ) )
63	48, 51	sge0reval 40589	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> (Σ^ ` F ) = sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
64	62, 63	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ (Σ^ ` F ) <-> sup ( ran ( x e. ( ~P ( X i^i Y ) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( ( F |` Y ) ` y ) ) , RR* , < ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) ) )
65	56, 64	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` F ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ (Σ^ ` F ) )
66	15, 20, 65	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` F ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ (Σ^ ` F ) )
67	14, 66	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( F |` Y ) ) <_ (Σ^ ` F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0ssre  40614  sge0lefi  40615  sge0lessmpt  40616  sge0resrnlem  40620  sge0le  40624