Theorem smflimmpt 41016

Description: The limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . Notice that every function in the sequence can have a different (partial) domain, and the domain of convergence can be decidedly irregular (Remark 121G of [Fremlin1] p. 39 ). A can contain m as a free variable, in other words it can be thought as an indexed collection A ( m ). B can be thought as a collection with two indexes B ( m , x ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimmpt.p	|- F/ m ph
smflimmpt.x	|- F/ x ph
smflimmpt.n	|- F/ n ph
smflimmpt.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimmpt.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimmpt.a	|- ( ( ph /\ m e. Z ) -> A e. V )
smflimmpt.b	|- ( ( ph /\ m e. Z /\ x e. A ) -> B e. W )
smflimmpt.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimmpt.l	|- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
smflimmpt.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> }
smflimmpt.g	|- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smflimmpt	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   A, n, x   B, n   S, m, n   m, Z, n, x

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   A( m)   B( x, m)   D( x, m, n)   S( x)   G( x, m, n)   M( x, m, n)   V( x, m, n)   W( x, m, n)

Proof of Theorem smflimmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimmpt.g	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) ) )
3		smflimmpt.x	. . . 4 |- F/ x ph
4		smflimmpt.d	. . . . . 6 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> }
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> } )
6		smflimmpt.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ph
7		smflimmpt.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ph
8		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m n e. Z
9	7, 8	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ( ph /\ n e. Z )
10		smflimmpt.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Z = ( ZZ>= ` M )
11	10	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
12	11	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
13		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
14		smflimmpt.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> A e. V )
15	14	mptexd 6487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
16	13, 12, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) = ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
18	17	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. Z /\ ( x e. A |-> B ) e. _V ) -> ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = ( x e. A |-> B ) )
19	12, 16, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = ( x e. A |-> B ) )
20	19	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = dom ( x e. A |-> B ) )
21		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x n e. Z
22	3, 21	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( ph /\ n e. Z )
23		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x m e. ( ZZ>= ` n )
24	22, 23	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) )
25		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ x e. A ) -> ph )
26	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ x e. A ) -> m e. Z )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
28		smflimmpt.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. Z /\ x e. A ) -> B e. W )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) /\ x e. A ) -> B e. W )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
31	24, 29, 30	fnmptd 39434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
32	31	fndmd 39441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
33	20, 32	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A = dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
34	9, 33	iineq2d 4541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
35	6, 34	iuneq2df 39212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> m e. Z )
37	36, 15, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = ( x e. A |-> B ) )
38	37	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) = ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
39	38	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> dom ( x e. A |-> B ) = dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
40	13, 12, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> dom ( x e. A |-> B ) = dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
41	9, 40	iineq2d 4541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
42	6, 41	iuneq2df 39212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
43	35, 42	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) )
44	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A <-> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) ) )
45	44	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) )
46	45	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) )
47		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A <-> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
48	47	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
50	49	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
51		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~>
52	6, 51	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( ph /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> )
53		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~>
54		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> )
55		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m x
56		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A
57	55, 56	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A
58	9, 57	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
59	10	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
60	59	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> n e. ZZ )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
62	10	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Z e. _V
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> Z e. _V )
64	10	uzssd3 39653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
65	64	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
66		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. _V )
67		eliinid 39294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. A )
68	67	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. A )
69	13	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
70	12	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
71	69, 70, 68, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> B e. W )
72	30	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ B e. W ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
73	68, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
74	58, 60, 61, 63, 63, 65, 65, 66, 73	climeldmeqmpt3 39921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) )
75	74	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) )
76	54, 75	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> )
77	76	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) )
78	52, 53, 77	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
79	78	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
80	50, 79	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) ) -> ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> )
81	46, 80	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
82	81	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) )
83	44	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
84	83	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
85	84, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
86	6, 53	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( ph /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> )
87		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> )
88	74	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) )
89	87, 88	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z ) /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> )
90	89	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) ) )
91	86, 51, 90	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) )
92	91	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) )
93	85, 92	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) -> ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> )
94	84, 93	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) )
95	94	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) ) )
96	82, 95	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> ) <-> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) /\ ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) )
97	3, 96	rabbida3 39320	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> } = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) | ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
98	5, 97	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) | ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
99	4	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D <-> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> } )
100	99	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> } )
101		rabidim1 3117	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> } -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
102	100, 101, 48	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
103	102	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
104		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n x
105		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A
106	51, 105	nfrab 3123	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( m e. Z |-> B ) e. dom ~~> }
107	4, 106	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ n D
108	104, 107	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ n x e. D
109	6, 108	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ n ( ph /\ x e. D )
110		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ n ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) )
111	7, 8, 57	nf3an 1831	. . . . . . . . . 10 |- F/ m ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
112		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> n e. Z )
113	112, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> n e. ZZ )
114	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> Z e. _V )
115	10, 112	uzssd2 39644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
116		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. _V )
117	67	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. A )
118		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
119	112, 11	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
120	118, 119, 117, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> B e. W )
121	117, 120, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
122	111, 113, 61, 114, 114, 115, 115, 116, 121	climfveqmpt3 39914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) )
123	122	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) ) ) )
124	123	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) ) ) )
125	109, 110, 124	rexlimd 3026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) ) )
126	103, 125	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) )
127	126	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) )
128	3, 98, 127	mpteq12da 39452	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> B ) ) ) = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) | ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) ) )
129	38	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = ( x e. A |-> B ) )
130	129	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
131	7, 130	mpteq2da 4743	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
132	131	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) )
133	132	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
134	3, 42, 133	rabbida2 39317	. . . 4 |- ( ph -> { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) | ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
135	130	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) )
136	7, 135	mpteq2da 4743	. . . . 5 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) )
137	136	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) )
138	3, 134, 137	mpteq12d 4734	. . 3 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( x e. A |-> B ) | ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) ) ) = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) ) )
139	2, 128, 138	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) ) )
140		nfmpt1 4747	. . 3 |- F/_ m ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
141		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x Z
142		nfmpt1 4747	. . . 4 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
143	141, 142	nfmpt 4746	. . 3 |- F/_ x ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
144		smflimmpt.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
145		smflimmpt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. SAlg )
146		smflimmpt.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
147	7, 146, 17	fmptdf 6387	. . 3 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) : Z --> (SMblFn ` S ) )
148		eqid 2622	. . 3 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
149		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) ) = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) )
150	140, 143, 144, 10, 145, 147, 148, 149	smflim2 41012	. 2 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) ) e. (SMblFn ` S ) )
151	139, 150	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  41028