Theorem smfsuplem3 41019

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem3.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smfsuplem3.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smfsuplem3.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfsuplem3.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smfsuplem3.d	|- D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y }
smfsuplem3.g	|- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem3	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   D, n, x, y   n, F, x, y   n, M   S, n, y   n, Z, x, y   ph, n, y, x

Allowed substitution hints:   S( x)   G( x, y, n)   M( x, y)

Proof of Theorem smfsuplem3

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. 2 |- F/ a ph
2		smfsuplem3.s	. 2 |- ( ph -> S e. SAlg )
3		smfsuplem3.d	. . . . 5 |- D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y }
4		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y } C_ |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
5	3, 4	eqsstri 3635	. . . 4 |- D C_ |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> D C_ |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
7		smfsuplem3.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
8		uzid 11702	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
10		smfsuplem3.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
11	9, 10	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> M e. Z )
12		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( n = M -> ( F ` n ) = ( F ` M ) )
13	12	dmeqd 5326	. . . 4 |- ( n = M -> dom ( F ` n ) = dom ( F ` M ) )
14		smfsuplem3.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
15	14, 11	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. (SMblFn ` S ) )
16		eqid 2622	. . . . 5 |- dom ( F ` M ) = dom ( F ` M )
17	2, 15, 16	smfdmss 40942	. . . 4 |- ( ph -> dom ( F ` M ) C_ U. S )
18	11, 13, 17	iinssd 39314	. . 3 |- ( ph -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) C_ U. S )
19	6, 18	sstrd 3613	. 2 |- ( ph -> D C_ U. S )
20		nfv 1843	. . . 4 |- F/ n ( ph /\ x e. D )
21	11	ne0d 39308	. . . . 5 |- ( ph -> Z =/= (/) )
22	21	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Z =/= (/) )
23	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S e. SAlg )
24	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. (SMblFn ` S ) )
25		eqid 2622	. . . . . . 7 |- dom ( F ` n ) = dom ( F ` n )
26	23, 24, 25	smff 40941	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : dom ( F ` n ) --> RR )
27	26	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : dom ( F ` n ) --> RR )
28		iinss2 4572	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) C_ dom ( F ` n ) )
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) C_ dom ( F ` n ) )
30	5	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
32	29, 31	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. dom ( F ` n ) )
33	32	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( F ` n ) )
34	27, 33	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
35	3	rabeq2i 3197	. . . . . 6 |- ( x e. D <-> ( x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) /\ E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
36	35	simprbi 480	. . . . 5 |- ( x e. D -> E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
37	36	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
38	20, 22, 34, 37	suprclrnmpt 39466	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
39		smfsuplem3.g	. . 3 |- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
40	38, 39	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> G : D --> RR )
41	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> M e. ZZ )
42	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> S e. SAlg )
43	14	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
44		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> a e. RR )
45	41, 10, 42, 43, 3, 39, 44	smfsuplem2 41018	. 2 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( `' G " ( -oo (,] a ) ) e. ( S ↾t D ) )
46	1, 2, 19, 40, 45	issmfle2d 41015	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfsup  41020