Theorem smfsup 41020

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsup.n	|- F/_ n F
smfsup.x	|- F/_ x F
smfsup.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smfsup.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smfsup.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfsup.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smfsup.d	|- D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y }
smfsup.g	|- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
smfsup	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   y, F   n, Z, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, n)   D( x, y, n)   S( x, y, n)   F( x, n)   G( x, y, n)   M( x, y, n)

Proof of Theorem smfsup

Dummy variables m w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsup.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		smfsup.z	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		smfsup.s	. 2 |- ( ph -> S e. SAlg )
4		smfsup.f	. 2 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
5		smfsup.d	. . 3 |- D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y }
6		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ w |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
7		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x Z
8		smfsup.x	. . . . . . 7 |- F/_ x F
9		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x m
10	8, 9	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ x ( F ` m )
11	10	nfdm 5367	. . . . 5 |- F/_ x dom ( F ` m )
12	7, 11	nfiin 4549	. . . 4 |- F/_ x |^|_ m e. Z dom ( F ` m )
13		nfv 1843	. . . 4 |- F/ w E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y
14		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x RR
15		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x w
16	10, 15	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( F ` m ) ` w )
17		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x <_
18		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x z
19	16, 17, 18	nfbr 4699	. . . . . 6 |- F/ x ( ( F ` m ) ` w ) <_ z
20	7, 19	nfral 2945	. . . . 5 |- F/ x A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ z
21	14, 20	nfrex 3007	. . . 4 |- F/ x E. z e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ z
22		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ m dom ( F ` n )
23		smfsup.n	. . . . . . . 8 |- F/_ n F
24		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n m
25	23, 24	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ n ( F ` m )
26	25	nfdm 5367	. . . . . 6 |- F/_ n dom ( F ` m )
27		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
28	27	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( n = m -> dom ( F ` n ) = dom ( F ` m ) )
29	22, 26, 28	cbviin 4558	. . . . 5 |- |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) = |^|_ m e. Z dom ( F ` m )
30	29	a1i 11	. . . 4 |- ( x = w -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) = |^|_ m e. Z dom ( F ` m ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` w ) )
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> ( ( F ` n ) ` w ) <_ y ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> A. n e. Z ( ( F ` n ) ` w ) <_ y ) )
34		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ m ( ( F ` n ) ` w ) <_ y
35		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n w
36	25, 35	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( ( F ` m ) ` w )
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n <_
38		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n y
39	36, 37, 38	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( F ` m ) ` w ) <_ y
40	27	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) ` w ) = ( ( F ` m ) ` w ) )
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( ( ( F ` n ) ` w ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` w ) <_ y ) )
42	34, 39, 41	cbvral 3167	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. Z ( ( F ` n ) ` w ) <_ y <-> A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ y )
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( A. n e. Z ( ( F ` n ) ` w ) <_ y <-> A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ y ) )
44	33, 43	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ y ) )
45	44	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( x = w -> ( E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> E. y e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ y ) )
46		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( ( F ` m ) ` w ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` w ) <_ z ) )
47	46	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ y <-> A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ z ) )
48	47	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. y e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ y <-> E. z e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ z )
49	48	a1i 11	. . . . 5 |- ( x = w -> ( E. y e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ y <-> E. z e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ z ) )
50	45, 49	bitrd 268	. . . 4 |- ( x = w -> ( E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> E. z e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ z ) )
51	6, 12, 13, 21, 30, 50	cbvrabcsf 3568	. . 3 |- { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y } = { w e. |^|_ m e. Z dom ( F ` m ) | E. z e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ z }
52	5, 51	eqtri 2644	. 2 |- D = { w e. |^|_ m e. Z dom ( F ` m ) | E. z e. RR A. m e. Z ( ( F ` m ) ` w ) <_ z }
53		smfsup.g	. . 3 |- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
54		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ x { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y }
55	5, 54	nfcxfr 2762	. . . 4 |- F/_ x D
56		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ w D
57		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ w sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < )
58	7, 16	nfmpt 4746	. . . . . 6 |- F/_ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) )
59	58	nfrn 5368	. . . . 5 |- F/_ x ran ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) )
60		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x <
61	59, 14, 60	nfsup 8357	. . . 4 |- F/_ x sup ( ran ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) , RR , < )
62	31	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) )
63		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( ( F ` n ) ` w )
64	63, 36, 40	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) )
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) )
66	62, 65	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) )
67	66	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( x = w -> ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ran ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) )
68	67	supeq1d 8352	. . . 4 |- ( x = w -> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) , RR , < ) )
69	55, 56, 57, 61, 68	cbvmptf 4748	. . 3 |- ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( w e. D |-> sup ( ran ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) , RR , < ) )
70	53, 69	eqtri 2644	. 2 |- G = ( w e. D |-> sup ( ran ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) , RR , < ) )
71	1, 2, 3, 4, 52, 70	smfsuplem3 41019	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfsupmpt  41021  smfsupxr  41022