Theorem sumsplit 14499

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sumsplit.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumsplit.3	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
sumsplit.4	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
sumsplit.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
sumsplit.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
sumsplit.7	|- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
sumsplit.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
sumsplit.9	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
sumsplit	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
2		sumsplit.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
3	2	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. k e. ( A u. B ) C e. CC )
4		sumsplit.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	4	eqimssi 3659	. . . . 5 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
7	6	orcd 407	. . 3 |- ( ph -> ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) )
8		sumss2 14457	. . 3 |- ( ( ( ( A u. B ) C_ Z /\ A. k e. ( A u. B ) C e. CC ) /\ ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) ) -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
9	1, 3, 7, 8	syl21anc 1325	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
10		sumsplit.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
11		sumsplit.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
12		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
14		elun1 3780	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
15	14, 2	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
16	13, 15	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
17		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
18		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
19	17, 18	syl6eqel 2709	. . . . . . 7 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
20	19	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
21	16, 20	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ph -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
22	21	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
23		sumsplit.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
24		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
26		elun2 3781	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
27	26, 2	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
28	25, 27	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
29		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
30	29, 18	syl6eqel 2709	. . . . . . 7 |- ( -. k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
31	30	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
32	28, 31	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ph -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
33	32	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
34		sumsplit.8	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
35		sumsplit.9	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
36	4, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35	isumadd 14498	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
37	15	addid1d 10236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
38		noel 3919	. . . . . . . . . . 11 |- -. k e. (/)
39		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
40		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
42	39, 41	syl5rbbr 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
43	38, 42	mtbii 316	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
44		imnan 438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
45	43, 44	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
46	45	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
47	46, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
48	13, 47	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
49		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A u. B ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
50	14, 49	syl 17	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
51	50	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
52	37, 48, 51	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
53	32	addid2d 10237	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
54	53	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
55	17	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
57		biorf 420	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> ( k e. B <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
58		elun 3753	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
59	57, 58	syl6rbbr 279	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
61	60	ifbid 4108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
62	54, 56, 61	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
63	52, 62	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ph -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
64	63	sumeq2sdv 14435	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
65	1	unssad 3790	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
66	15	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
67		sumss2 14457	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ Z /\ A. k e. A C e. CC ) /\ ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) )
68	65, 66, 7, 67	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) )
69	1	unssbd 3791	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ Z )
70	27	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
71		sumss2 14457	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ Z /\ A. k e. B C e. CC ) /\ ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) ) -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) )
72	69, 70, 7, 71	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) )
73	68, 72	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
74	36, 64, 73	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
75	9, 74	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by: (None)