Theorem uvcff 20130

Description: Domain and range of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	|- U = ( R unitVec I )
uvcff.y	|- Y = ( R freeLMod I )
uvcff.b	|- B = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
uvcff	|- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> U : I --> B )

Proof of Theorem uvcff

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	ringidcl 18568	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
4		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5	1, 4	ring0cl 18569	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
6	3, 5	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
7	6	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) /\ j e. I ) -> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
9	7, 8	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) : I --> ( Base ` R ) )
10		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
11		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( ( Base ` R ) e. _V /\ I e. W ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) <-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) : I --> ( Base ` R ) ) )
12	10, 11	mpan 706	. . . . . 6 |- ( I e. W -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) <-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) : I --> ( Base ` R ) ) )
13	12	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) <-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) : I --> ( Base ` R ) ) )
14	9, 13	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
15		mptexg 6484	. . . . . 6 |- ( I e. W -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. _V )
16	15	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. _V )
17		funmpt 5926	. . . . . 6 |- Fun ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
18	17	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> Fun ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
19		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
21		snfi 8038	. . . . . 6 |- { i } e. Fin
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> { i } e. Fin )
23		eldifsni 4320	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( I \ { i } ) -> j =/= i )
24	23	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) /\ j e. ( I \ { i } ) ) -> j =/= i )
25	24	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) /\ j e. ( I \ { i } ) ) -> -. j = i )
26	25	iffalsed 4097	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) /\ j e. ( I \ { i } ) ) -> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
27		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> I e. W )
28	26, 27	suppss2 7329	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { i } )
29		suppssfifsupp 8290	. . . . 5 |- ( ( ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) /\ ( { i } e. Fin /\ ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { i } ) ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
30	16, 18, 20, 22, 28, 29	syl32anc 1334	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
31		uvcff.y	. . . . . 6 |- Y = ( R freeLMod I )
32		uvcff.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` Y )
33	31, 1, 4, 32	frlmelbas 20100	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. B <-> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) /\ ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) ) )
34	33	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. B <-> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) /\ ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) ) )
35	14, 30, 34	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. B )
36		eqid 2622	. . 3 |- ( i e. I |-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
37	35, 36	fmptd 6385	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( i e. I |-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) : I --> B )
38		uvcff.u	. . . 4 |- U = ( R unitVec I )
39	38, 2, 4	uvcfval 20123	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> U = ( i e. I |-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
40	39	feq1d 6030	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( U : I --> B <-> ( i e. I |-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) : I --> B ) )
41	37, 40	mpbird 247	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> U : I --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   freeLMod cfrlm 20090   unitVec cuvc 20121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-uvc 20122

This theorem is referenced by:  uvcf1  20131  uvcresum  20132  frlmssuvc1  20133  frlmssuvc2  20134  frlmsslsp  20135  frlmlbs  20136  frlmup2  20138  frlmup3  20139  frlmup4  20140  lindsdom  33403  matunitlindflem2  33406  aacllem  42547